giúp mình giải câu này vs ạ Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\sin2x-x.$ $a)~f(-\frac\pi2)=\frac\pi2;f(\frac\pi2)=-\frac\pi2.$,$\cos2x-1$ $[-\frac\pi2;\frac\pi2],$ $S=\{-\frac\pi6;$,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=\cos2x-1.$ c) Trên đoạn pt $f^\prime(x)=0$ có tập nghiệm,$[-\frac\pi2;\frac\pi2]$ $\cos2x-1=0$,d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn là $-\frac\pi2.$ $\Leftrightarrow\cos2x=1$,$(z)~9x=k2x+$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài.

Phần a)
Tính giá trị của hàm số $ f(x) = \sin 2x - x $ tại các điểm $ x = -\frac{\pi}{2} $ và $ x = \frac{\pi}{2} $.

1. Tính $ f\left( -\frac{\pi}{2} \right) $:
$$ 
f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( 2 \cdot -\frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \sin (-\pi) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}
$$

2. Tính $ f\left( \frac{\pi}{2} \right) $:
$$ 
f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{2} = \sin (\pi) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}
$$

Phần b)
Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) = \sin 2x - x $.

1. Áp dụng công thức đạo hàm:
$$ 
f&#x27;(x) = \frac{d}{dx} (\sin 2x) - \frac{d}{dx} (x) = 2 \cos 2x - 1
$$

Phần c)
Giải phương trình $ f&#x27;(x) = 0 $ trên đoạn $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $.

1. Phương trình đạo hàm:
$$ 
f&#x27;(x) = 2 \cos 2x - 1 = 0
$$
$$ 
2 \cos 2x = 1
$$
$$ 
\cos 2x = \frac{1}{2}
$$

2. Giải phương trình $ \cos 2x = \frac{1}{2} $:
$$ 
2x = \pm \frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
$$ 
x = \pm \frac{\pi}{6} + k \cdot \pi \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

3. Tìm nghiệm trong đoạn $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $:
$$ 
x = \frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}
$$

Phần d)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) $ trên đoạn $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $.

1. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
$$ 
f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}
$$
$$ 
f\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\pi}{2}
$$
$$ 
f\left( \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} \right) - \frac{\pi}{6} = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}
$$
$$ 
f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( 2 \cdot -\frac{\pi}{6} \right) - \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}
$$

2. So sánh các giá trị:
$$ 
f\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\pi}{2} \quad \text{(nhỏ nhất)}
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) $ trên đoạn $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ là $ -\frac{\pi}{2} $.