Đáp án đúng

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết cụ thể bài toán hoặc biểu thức nào đang được đề cập. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho (A. 0, C. +∞), tôi sẽ giả định rằng câu hỏi liên quan đến giới hạn của một hàm số hoặc một biểu thức toán học. Giả sử chúng ta cần tìm giới hạn của một hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to +\infty \)). Bước 1: Xác định hàm số hoặc biểu thức Chúng ta cần biết cụ thể hàm số hoặc biểu thức để tiếp tục giải quyết câu hỏi. Ví dụ, giả sử chúng ta có hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 4} \). Bước 2: Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \) Ta chia cả tử và mẫu của phân thức cho \( x^2 \): \[ f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} \] Khi \( x \to +\infty \), các phân số \( \frac{3}{x} \), \( \frac{2}{x^2} \), và \( \frac{4}{x^2} \) đều tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1 + 0 + 0}{1 - 0} = 1 \] Tuy nhiên, nếu hàm số hoặc biểu thức khác, kết quả có thể thay đổi. Ví dụ, nếu chúng ta có hàm số \( g(x) = x^2 \), thì: \[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \] Kết luận: - Nếu hàm số hoặc biểu thức tiến đến một hằng số khi \( x \to +\infty \), kết quả sẽ là giá trị đó. - Nếu hàm số hoặc biểu thức tiến đến vô cùng khi \( x \to +\infty \), kết quả sẽ là \( +\infty \). Do đó, tùy thuộc vào hàm số hoặc biểu thức cụ thể, chúng ta có thể chọn đáp án A. 0 hoặc C. +∞. Lời khuyên: - Luôn kiểm tra lại hàm số hoặc biểu thức cụ thể để xác định giới hạn chính xác. - Áp dụng các phương pháp tìm giới hạn phù hợp với hàm số hoặc biểu thức đã cho. Câu 2. Để xác định độ dài của các nhóm trong bảng thống kê điểm kiểm tra giữa học kì I của lớp 11T, chúng ta cần xem xét khoảng cách giữa các giới hạn của mỗi nhóm. Bảng thống kê điểm kiểm tra giữa học kì I của lớp 11T: - Nhóm [0;2) có 1 học sinh - Nhóm [2;4) có 3 học sinh - Nhóm [4;6) có 8 học sinh - Nhóm [6;8) có 18 học sinh - Nhóm [8;10) có 10 học sinh Nhìn vào các nhóm này, ta thấy rằng: - Nhóm [0;2) có khoảng cách từ 0 đến 2 - Nhóm [2;4) có khoảng cách từ 2 đến 4 - Nhóm [4;6) có khoảng cách từ 4 đến 6 - Nhóm [6;8) có khoảng cách từ 6 đến 8 - Nhóm [8;10) có khoảng cách từ 8 đến 10 Mỗi nhóm đều có khoảng cách là 2 đơn vị. Do đó, độ dài của các nhóm là 2. Đáp án đúng là: A. 2. Câu 3. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$, ta cần xác định điểm $(h, k)$ sao cho hàm số có dạng $y = f(x) = \frac{a(x - h)}{c(x - h)} + k$. Từ đồ thị, ta thấy rằng đường thẳng đi qua tâm đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = x - 1$. Điều này cho thấy tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng này. Ta cũng nhận thấy rằng đường thẳng này đi qua điểm $(1, -1)$. Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $(1, -1)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(1; -1). \] Câu 4. Để tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 0; 3)$, ta sử dụng công thức tính độ dài của một vectơ trong không gian Oxyz. Công thức độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} = (a_x; a_y; a_z)$ là: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \] Áp dụng vào vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 0; 3)$, ta có: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} \] \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1 + 0 + 9} \] \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{10} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $\sqrt{10}$. Đáp án đúng là: D. $\sqrt{10}$. Câu 5. Để giải bất phương trình $\log x \leq -2$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log x \leq -2$, ta cần đảm bảo rằng $x > 0$ vì đối số của hàm logarit phải dương. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log x \leq -2$. - Để giải bất phương trình này, ta sử dụng tính chất của hàm logarit: Nếu $\log x \leq \log y$, thì $x \leq y$ (với $x, y > 0$). - Do đó, $\log x \leq \log 10^{-2}$, suy ra $x \leq 10^{-2}$. 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 0$ và kết quả từ bước trên $x \leq 10^{-2}$, ta có: \[ 0 < x \leq \frac{1}{100} \] 4. Kết luận: - Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \leq -2$ là $(0; \frac{1}{100}]$. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(0;\frac1{100}]. \] Câu 6. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần xem xét dấu của đạo hàm $f'(x)$. Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm là: \[ f'(x) = -x^3 \] Ta thấy rằng: - Khi $x < 0$, ta có $-x^3 > 0$. Do đó, $f'(x) > 0$. - Khi $x > 0$, ta có $-x^3 < 0$. Do đó, $f'(x) < 0$. - Khi $x = 0$, ta có $-x^3 = 0$. Do đó, $f'(x) = 0$. Từ đó, ta kết luận: - Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; 0)$ vì $f'(x) > 0$ trên khoảng này. - Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$ vì $f'(x) < 0$ trên khoảng này. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(-\infty; 0) \] Tiếp theo, ta tính tích phân $\int_{\frac{\pi}{7}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx$. Ta có: \[ \int_{\frac{\pi}{7}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{7}}^{\frac{\pi}{3}} \] \[ = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{7} \right) \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin \left( \frac{\pi}{7} \right) \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin \left( \frac{\pi}{7} \right)} \] Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho các hàm sin và cos. Cụ thể, ta có: 1. Công thức biến đổi tổng thành tích cho sin: \[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) \] 2. Công thức biến đổi tổng thành tích cho cos: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) \] Ta xét từng đáp án: A. $\sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{7}$ Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho sin: \[ \sin\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{7} = 2 \cos \left( \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{7}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{7}}{2} \right) \] \[ = 2 \cos \left( \frac{\frac{7\pi + 3\pi}{21}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{7\pi - 3\pi}{21}}{2} \right) \] \[ = 2 \cos \left( \frac{10\pi}{42} \right) \sin \left( \frac{4\pi}{42} \right) \] \[ = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{21} \right) \sin \left( \frac{2\pi}{21} \right) \] B. $\sin\frac{\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{3}$ Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho sin: \[ \sin\frac{\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{3} = 2 \cos \left( \frac{\frac{\pi}{7} + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{3}}{2} \right) \] \[ = 2 \cos \left( \frac{\frac{3\pi + 7\pi}{21}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{3\pi - 7\pi}{21}}{2} \right) \] \[ = 2 \cos \left( \frac{10\pi}{42} \right) \sin \left( \frac{-4\pi}{42} \right) \] \[ = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{21} \right) \sin \left( -\frac{2\pi}{21} \right) \] \[ = -2 \cos \left( \frac{5\pi}{21} \right) \sin \left( \frac{2\pi}{21} \right) \] C. $\cos\frac{\pi}{7} - \cos\frac{\pi}{3}$ Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho cos: \[ \cos\frac{\pi}{7} - \cos\frac{\pi}{3} = -2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{7} + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{3}}{2} \right) \] \[ = -2 \sin \left( \frac{\frac{3\pi + 7\pi}{21}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{3\pi - 7\pi}{21}}{2} \right) \] \[ = -2 \sin \left( \frac{10\pi}{42} \right) \sin \left( \frac{-4\pi}{42} \right) \] \[ = -2 \sin \left( \frac{5\pi}{21} \right) \sin \left( -\frac{2\pi}{21} \right) \] \[ = 2 \sin \left( \frac{5\pi}{21} \right) \sin \left( \frac{2\pi}{21} \right) \] D. $\cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{7}$ Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho cos: \[ \cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{7} = -2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{7}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{7}}{2} \right) \] \[ = -2 \sin \left( \frac{\frac{7\pi + 3\pi}{21}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{7\pi - 3\pi}{21}}{2} \right) \] \[ = -2 \sin \left( \frac{10\pi}{42} \right) \sin \left( \frac{4\pi}{42} \right) \] \[ = -2 \sin \left( \frac{5\pi}{21} \right) \sin \left( \frac{2\pi}{21} \right) \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ D.~\cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{7}. \] Câu 8. Để tìm tập xác định của hàm số $y = 5^x + \log_2(3 - x)$, ta cần đảm bảo rằng các thành phần trong hàm số đều có nghĩa. 1. Phần $5^x$: - Hàm số $5^x$ có nghĩa với mọi giá trị thực của $x$. Do đó, không có giới hạn nào từ phần này. 2. Phần $\log_2(3 - x)$: - Để hàm số $\log_2(3 - x)$ có nghĩa, biểu thức bên trong dấu logarit phải lớn hơn 0: \[ 3 - x > 0 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 3 \] Từ hai điều kiện trên, ta thấy rằng hàm số $y = 5^x + \log_2(3 - x)$ có nghĩa khi $x < 3$. Vậy tập xác định của hàm số là: \[ (-\infty; 3) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(-\infty; 3) \] Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu nào là sai. 1. Phát biểu A: $(SAB) \perp (ABC)$ - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, nên đường thẳng SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ABC. Do đó, mặt phẳng (SAB) sẽ vuông góc với mặt phẳng (ABC). 2. Phát biểu B: $(SAC) \perp (ABC)$ - Cũng vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, nên đường thẳng SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phằng ABC. Do đó, mặt phẳng (SAC) cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (ABC). 3. Phát biểu C: $(SAC) \perp (SBC)$ - Để kiểm tra xem (SAC) có vuông góc với (SBC) hay không, chúng ta cần xem xét giao tuyến của hai mặt phẳng này. Giao tuyến của (SAC) và (SBC) là SC. Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy SC vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng (SAC) hoặc (SBC). Do đó, không thể kết luận rằng (SAC) vuông góc với (SBC). 4. Phát biểu D: $(SAB) \perp (SBC)$ - Giao tuyến của (SAB) và (SBC) là SB. Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, nên SB nằm trong mặt phẳng đáy ABC và không vuông góc với SA. Do đó, không thể kết luận rằng (SAB) vuông góc với (SBC). Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng phát biểu C và D đều không thể kết luận là đúng dựa trên thông tin đã cho. Tuy nhiên, phát biểu C là phát biểu sai rõ ràng hơn vì không có cơ sở nào để khẳng định (SAC) vuông góc với (SBC). Đáp án: C. $(SAC) \perp (SBC)$ Câu 10. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. Ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \] Thay các vectơ đã cho vào biểu thức trên: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} + \overrightarrow{z}) \] Do đó, phát biểu sau đây là đúng: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} + \overrightarrow{z}) \] Đáp án: \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} + \overrightarrow{z})\)