Đáp án đúng Câu 11. Trong không gian Oxyz , đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac{y-1}1=\frac z{-1}$ song song với mặt phẳng nào sau đây?,$A.~(P):~x+y-z=0.$ $B.~(\beta):~x+z=0.$ $C.~(Q):~x+y+2z=0.$ $D.~(\alpha):~x-y+1=0.$,Câu 12. Đường cong trong hình bên có tên gọi là đường Lemmiscate. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình,của đường Lemmiscate đã cho là $16y^2=x^2(25-x^2).$ Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình,phẳng giới hạn bởi đường cong đó quay quanh trục Ox bằng,,$A.~\frac{625}6\pi.$ $B.~\frac{625}{12}\pi.$ $C.~\frac{1250}3\pi.$ $D.~\frac{625}3\pi.$,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng - sai,Câu 13. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^2+1}x$ trên khoảng $(0;+\infty).$,$a)~f(x)=x+\frac1x.$ $b)~F(x)=f^\prime(x),~\forall x\in(0;+\infty).$,$c)~F(x)=\frac12x^2-\frac1{x^2}+C,$ với C là hằng số.,d) Biết rằng đồ thị của hàm số $F(x)$ đi qua $M(e;\frac{e^2}2).$ Khi đó $F(1)=\frac12.$,Câu 14. Một chiếc điện thoại iphone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt $S(0;0;20)$ và các,điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là $A(0;-6;0),~B(3\sqrt3;3;0),~C(-3\sqrt3;3;0)$ (đơn vị cm). Cho biết,điện thoại có trọng lượng là 2 N và ba lực tác dụng lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$,có độ lớn bằng nhau và đo bằng đơn vị Niuton., ,$a)~\overrightarrow{SA}=(0;-6;-20).$ $b)~\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow F(0;0;2).$

Question

Đáp án đúng Câu 11. Trong không gian Oxyz , đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac{y-1}1=\frac z{-1}$ song song với mặt phẳng nào sau đây?,$A.~(P):~x+y-z=0.$ $B.~(\beta):~x+z=0.$ $C.~(Q):~x+y+2z=0.$ $D.~(\alpha):~x-y+1=0.$,Câu 12. Đường cong trong hình bên có tên gọi là đường Lemmiscate. Trong mặt phẳng Oxy , phương trình,của đường Lemmiscate đã cho là $16y^2=x^2(25-x^2).$ Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình,phẳng giới hạn bởi đường cong đó quay quanh trục Ox bằng,

,$A.~\frac{625}6\pi.$ $B.~\frac{625}{12}\pi.$ $C.~\frac{1250}3\pi.$ $D.~\frac{625}3\pi.$,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng - sai,Câu 13. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^2+1}x$ trên khoảng $(0;+\infty).$,$a)~f(x)=x+\frac1x.$ $b)~F(x)=f^\prime(x),~\forall x\in(0;+\infty).$,$c)~F(x)=\frac12x^2-\frac1{x^2}+C,$ với C là hằng số.,d) Biết rằng đồ thị của hàm số $F(x)$ đi qua $M(e;\frac{e^2}2).$ Khi đó $F(1)=\frac12.$,Câu 14. Một chiếc điện thoại iphone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt $S(0;0;20)$ và các,điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là $A(0;-6;0),~B(3\sqrt3;3;0),~C(-3\sqrt3;3;0)$ (đơn vị cm). Cho biết,điện thoại có trọng lượng là 2 N và ba lực tác dụng lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$,có độ lớn bằng nhau và đo bằng đơn vị Niuton.,

,$a)~\overrightarrow{SA}=(0;-6;-20).$ $b)~\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow F(0;0;2).$

Accepted Answer

Câu 11.
Để xác định đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng nào, ta cần kiểm tra xem vectơ chỉ phương của đường thẳng có vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó hay không.

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình:
$$
\Delta: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{-1}
$$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{d} = (1, 1, -1)$.

Ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng:

1. Mặt phẳng $(P): x + y - z = 0$
   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (1, 1, -1)$.
   Ta tính tích vô hướng giữa $\vec{d}$ và $\vec{n}_P$:
   $$
   \vec{d} \cdot \vec{n}_P = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0
   $$
   Vậy $\vec{d}$ không vuông góc với $\vec{n}_P$, do đó $\Delta$ không song song với $(P)$.

2. Mặt phẳng $(\beta): x + z = 0$
   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ là $\vec{n}_\beta = (1, 0, 1)$.
   Ta tính tích vô hướng giữa $\vec{d}$ và $\vec{n}_\beta$:
   $$
   \vec{d} \cdot \vec{n}_\beta = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = 1 + 0 - 1 = 0
   $$
   Vậy $\vec{d}$ vuông góc với $\vec{n}_\beta$, do đó $\Delta$ song song với $(\beta)$.

3. Mặt phẳng $(Q): x + y + 2z = 0$
   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\vec{n}_Q = (1, 1, 2)$.
   Ta tính tích vô hướng giữa $\vec{d}$ và $\vec{n}_Q$:
   $$
   \vec{d} \cdot \vec{n}_Q = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 1 + 1 - 2 = 0
   $$
   Vậy $\vec{d}$ vuông góc với $\vec{n}_Q$, do đó $\Delta$ song song với $(Q)$.

4. Mặt phẳng $(\alpha): x - y + 1 = 0$
   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\vec{n}_\alpha = (1, -1, 0)$.
   Ta tính tích vô hướng giữa $\vec{d}$ và $\vec{n}_\alpha$:
   $$
   \vec{d} \cdot \vec{n}_\alpha = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 = 1 - 1 + 0 = 0
   $$
   Vậy $\vec{d}$ vuông góc với $\vec{n}_\alpha$, do đó $\Delta$ song song với $(\alpha)$.

Từ các phép tính trên, ta thấy rằng đường thẳng $\Delta$ song song với các mặt phẳng $(\beta)$, $(Q)$ và $(\alpha)$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có mặt phẳng $(\beta)$ là đúng.

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{B.~(\beta):~x+z=0.}
$$

Câu 12.
Để tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong $16y^2 = x^2(25 - x^2)$ quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của đường cong với trục Ox:
   $$
   16y^2 = x^2(25 - x^2)
   $$
   Khi $ y = 0 $:
   $$
   x^2(25 - x^2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm 5
   $$

2. Xác định miền tích phân:
   Vì đường cong đối xứng qua trục Oy, ta chỉ cần tính thể tích từ $ x = 0 $ đến $ x = 5 $ rồi nhân đôi.

3. Biểu diễn $ y $ theo $ x $:
   $$
   y = \pm \frac{x \sqrt{25 - x^2}}{4}
   $$
   Ta chọn nửa trên của đường cong:
   $$
   y = \frac{x \sqrt{25 - x^2}}{4}
   $$

4. Áp dụng công thức thể tích vật thể tròn xoay:
   $$
   V = 2 \int_{0}^{5} \pi y^2 \, dx
   $$
   Thay $ y = \frac{x \sqrt{25 - x^2}}{4} $:
   $$
   y^2 = \left(\frac{x \sqrt{25 - x^2}}{4}\right)^2 = \frac{x^2 (25 - x^2)}{16}
   $$
   Vậy:
   $$
   V = 2 \int_{0}^{5} \pi \frac{x^2 (25 - x^2)}{16} \, dx = \frac{\pi}{8} \int_{0}^{5} x^2 (25 - x^2) \, dx
   $$

5. Tính tích phân:
   $$
   \int_{0}^{5} x^2 (25 - x^2) \, dx = \int_{0}^{5} (25x^2 - x^4) \, dx
   $$
   Tính từng phần:
   $$
   \int_{0}^{5} 25x^2 \, dx = 25 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} = 25 \cdot \frac{125}{3} = \frac{3125}{3}
   $$
   $$
   \int_{0}^{5} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{5} = \frac{3125}{5} = 625
   $$
   Kết hợp lại:
   $$
   \int_{0}^{5} (25x^2 - x^4) \, dx = \frac{3125}{3} - 625 = \frac{3125 - 1875}{3} = \frac{1250}{3}
   $$

6. Tính thể tích cuối cùng:
   $$
   V = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{1250}{3} = \frac{1250 \pi}{24} = \frac{625 \pi}{12}
   $$

Vậy thể tích vật thể tròn xoay là:
$$
\boxed{\frac{625}{12} \pi}
$$

Đáp án đúng là: B. $\frac{625}{12}\pi$.

Câu 13.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần a)

Ta có:
$$ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x} $$

Phần b)

Nguyên hàm của $ f(x) $ là $ F(x) $. Ta có:
$$ F(x) = \int \left( x + \frac{1}{x} \right) dx $$
$$ F(x) = \int x \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx $$
$$ F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C $$

Do $ x $ thuộc khoảng $ (0; +\infty) $, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
$$ F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln x + C $$

Phần c)

Kiểm tra lại đáp án:
$$ F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x^2} + C $$

Đáp án này không đúng vì nguyên hàm của $ \frac{1}{x} $ là $ \ln x $, không phải $ -\frac{1}{x^2} $.

Phần d)

Biết rằng đồ thị của hàm số $ F(x) $ đi qua điểm $ M(e; \frac{e^2}{2}) $:
$$ F(e) = \frac{e^2}{2} $$

Thay vào biểu thức của $ F(x) $:
$$ \frac{e^2}{2} + \ln e + C = \frac{e^2}{2} $$
$$ \frac{e^2}{2} + 1 + C = \frac{e^2}{2} $$
$$ C = -1 $$

Vậy:
$$ F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln x - 1 $$

Tính $ F(1) $:
$$ F(1) = \frac{1^2}{2} + \ln 1 - 1 $$
$$ F(1) = \frac{1}{2} + 0 - 1 $$
$$ F(1) = \frac{1}{2} - 1 $$
$$ F(1) = -\frac{1}{2} $$

Đáp án cuối cùng:
$$ F(1) = -\frac{1}{2} $$

Câu 14.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các vectơ từ điểm đặt S đến các điểm chạm mặt đất A, B, C

- Điểm đặt $ S(0;0;20) $
- Điểm chạm mặt đất $ A(0;-6;0) $

Ta có:
$$ \overrightarrow{SA} = A - S = (0 - 0, -6 - 0, 0 - 20) = (0, -6, -20) $$

Bước 2: Xác định vectơ lực tổng $\overrightarrow{F}$

Trọng lượng của điện thoại là 2 N, do đó vectơ lực tổng $\overrightarrow{F}$ hướng thẳng đứng xuống dưới và có độ lớn là 2 N. Ta có:
$$ \overrightarrow{F} = (0, 0, -2) $$

Bước 3: Xác định vectơ lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$

Theo đề bài, ba lực $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ có độ lớn bằng nhau và tổng của chúng bằng vectơ lực tổng $\overrightarrow{F}$.

Do đó:
$$ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{F} = (0, 0, -2) $$

Kết luận

- Vectơ từ điểm đặt $ S $ đến điểm chạm mặt đất $ A $ là:
$$ \overrightarrow{SA} = (0, -6, -20) $$

- Tổng của ba vectơ lực tác dụng lên giá đỡ là:
$$ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = (0, 0, -2) $$

Đáp số:
$$ a) \overrightarrow{SA} = (0, -6, -20) $$
$$ b) \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = (0, 0, -2) $$