Đáp án đúng

Câu 9. Để tìm góc giữa hai vectơ $\overline{SB}$ và $\overline{CD}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ các điểm: - Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - S(0, 0, a) 2. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $\overline{SB} = B - S = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)$ - Vectơ $\overline{CD} = D - C = (0, a, 0) - (a, a, 0) = (-a, 0, 0)$ 3. Tính tích vô hướng của hai vectơ: - Tích vô hướng $\overline{SB} \cdot \overline{CD} = (a, 0, -a) \cdot (-a, 0, 0) = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + (-a) \cdot 0 = -a^2$ 4. Tính độ dài của các vectơ: - Độ dài $\|\overline{SB}\| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ - Độ dài $\|\overline{CD}\| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a$ 5. Tính cosin của góc giữa hai vectơ: - $\cos(\theta) = \frac{\overline{SB} \cdot \overline{CD}}{\|\overline{SB}\| \|\overline{CD}\|} = \frac{-a^2}{a\sqrt{2} \cdot a} = \frac{-a^2}{a^2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 6. Xác định góc: - $\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\theta = 135^\circ$ Vậy góc giữa hai vectơ $\overline{SB}$ và $\overline{CD}$ là $135^\circ$. Đáp án đúng là B. 135°. Câu 10. Để tính diện tích hình phẳng được tô màu, chúng ta cần chia hình phẳng thành hai phần và tính diện tích của mỗi phần riêng biệt. 1. Phần thứ nhất: Từ \(x = 0\) đến \(x = 1\), hàm số \(g(x)\) nằm trên hàm số \(f(x)\). Do đó, diện tích của phần này là: \[ S_1 = \int_{0}^{1} [g(x) - f(x)] \, dx \] 2. Phần thứ hai: Từ \(x = 1\) đến \(x = 2\), hàm số \(f(x)\) nằm trên hàm số \(g(x)\). Do đó, diện tích của phần này là: \[ S_2 = \int_{1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx \] Tổng diện tích hình phẳng được tô màu là tổng của diện tích hai phần trên: \[ S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1} [g(x) - f(x)] \, dx + \int_{1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx \] Do đó, công thức tính diện tích hình phẳng được tô màu là: \[ S = \int_{0}^{1} [g(x) - f(x)] \, dx + \int_{1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~S = \int_{0}^{1} [g(x) - f(x)] \, dx + \int_{1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx \] Câu 11. Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}x^4 - 2x^2 - 3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Ta có: \[ y' = \left(\frac{1}{2}x^4 - 2x^2 - 3\right)' = 2x^3 - 4x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 2x^3 - 4x = 0 \] \[ 2x(x^2 - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \sqrt{2} \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị Ta cần kiểm tra đạo hàm bậc hai để xác định tính chất của các điểm cực trị: \[ y'' = (2x^3 - 4x)' = 6x^2 - 4 \] - Tại $x = 0$: \[ y''(0) = 6(0)^2 - 4 = -4 < 0 \] Do đó, $x = 0$ là điểm cực đại. - Tại $x = \sqrt{2}$: \[ y''(\sqrt{2}) = 6(\sqrt{2})^2 - 4 = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, $x = \sqrt{2}$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = -\sqrt{2}$: \[ y''(-\sqrt{2}) = 6(-\sqrt{2})^2 - 4 = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, $x = -\sqrt{2}$ là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại Tại $x = 0$: \[ y(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - 2(0)^2 - 3 = -3 \] Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0, -3)$. Đáp án: D. $(0, -3)$. Câu 12. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính trọng số trung tâm của mỗi khoảng: \[ [20;25) \rightarrow 22.5, \quad [25;30) \rightarrow 27.5, \quad [30;35) \rightarrow 32.5, \quad [35;40) \rightarrow 37.5, \quad [40;45) \rightarrow 42.5 \] - Tính tổng số ngày: \[ 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(22.5 \times 6) + (27.5 \times 6) + (32.5 \times 4) + (37.5 \times 1) + (42.5 \times 1)}{18} \] \[ \bar{x} = \frac{135 + 165 + 130 + 37.5 + 42.5}{18} = \frac{510}{18} \approx 28.33 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của độ lệch từ trung bình cộng cho mỗi khoảng: \[ (22.5 - 28.33)^2 \approx 33.74, \quad (27.5 - 28.33)^2 \approx 0.70, \quad (32.5 - 28.33)^2 \approx 17.34, \quad (37.5 - 28.33)^2 \approx 82.34, \quad (42.5 - 28.33)^2 \approx 198.34 \] - Tính tổng của các bình phương này nhân với tần số tương ứng: \[ 6 \times 33.74 + 6 \times 0.70 + 4 \times 17.34 + 1 \times 82.34 + 1 \times 198.34 = 202.44 + 4.2 + 69.36 + 82.34 + 198.34 = 556.68 \] - Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{556.68}{18} \approx 30.93 \] 3. Tính độ lệch chuẩn: - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{30.93} \approx 5.56 \] Do đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là khoảng 5.56 phút, làm tròn đến hàng phần trăm là 5.59 phút. Đáp án đúng là: C. 5,59. Câu 13. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm A, B, C - Điểm \( M(1;2;3) \) - Điểm \( A \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên trục \( Ox \), do đó \( A(1;0;0) \) - Điểm \( B \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên trục \( Oy \), do đó \( B(0;2;0) \) - Điểm \( C \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) lên trục \( Oz \), do đó \( C(0;0;3) \) Bước 2: Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), \( C(x_3, y_3, z_3) \) có dạng: \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} + \frac{y - y_1}{y_3 - y_1} + \frac{z - z_1}{z_3 - z_1} = 1 \] Áp dụng vào các điểm \( A(1;0;0) \), \( B(0;2;0) \), \( C(0;0;3) \): \[ \frac{x - 1}{0 - 1} + \frac{y - 0}{0 - 0} + \frac{z - 0}{3 - 0} = 1 \] \[ \frac{x - 1}{-1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \] \[ -\frac{x - 1}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \] \[ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \] Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: \[ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \] Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( ax + by + cz = d \) là \( \vec{n}(a, b, c) \). Trong phương trình \( \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \), ta có: \[ x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \] \[ 6x + 3y + 2z = 6 \] Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \vec{n}(6, 3, 2) \] Bước 4: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) Khoảng cách từ điểm \( (x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \) và mặt phẳng \( 6x + 3y + 2z - 6 = 0 \): \[ d = \frac{|6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|-6|}{\sqrt{36 + 9 + 4}} \] \[ d = \frac{6}{\sqrt{49}} \] \[ d = \frac{6}{7} \] Kết luận: - a) \( A(1;0;0) \), \( B(0;2;0) \), \( C(0;0;3) \) - b) Phương trình mặt phẳng (P) là \( \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \) - c) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \( \vec{n}(6, 3, 2) \) - d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) là \( \frac{6}{7} \) Câu 14. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất tổng hợp và xác suất có điều kiện. Bước 1: Xác định các biến cố và xác suất liên quan - Biến cố \( B \): Vật thể bay là mục tiêu thật. - Biến cố \( \overline{B} \): Vật thể bay là mục tiêu giả. - Biến cố \( A \): Hệ thống radar phát cảnh báo. Các xác suất đã cho: - \( P(B) = 0,01 \) - \( P(\overline{B}) = 0,99 \) - \( P(A|B) = 0,9 \) (xác suất hệ thống radar phát cảnh báo khi vật thể bay là mục tiêu thật) - \( P(A|\overline{B}) = 0,05 \) (xác suất hệ thống radar phát cảnh báo khi vật thể bay là mục tiêu giả) Bước 2: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp để tìm \( P(A) \) Theo công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Thay các giá trị vào: \[ P(A) = 0,9 \cdot 0,01 + 0,05 \cdot 0,99 \] \[ P(A) = 0,009 + 0,0495 \] \[ P(A) = 0,0585 \] Bước 3: Tính xác suất có điều kiện \( P(B|A) \) Theo công thức xác suất có điều kiện: \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \] Thay các giá trị vào: \[ P(B|A) = \frac{0,9 \cdot 0,01}{0,0585} \] \[ P(B|A) = \frac{0,009}{0,0585} \] \[ P(B|A) \approx 0,1538 \] Kết luận: Xác suất rằng vật thể bay là mục tiêu thật khi hệ thống radar phát cảnh báo là khoảng 0,1538 hoặc 15,38%.