cho a,b,c >0 chứng minh rằng a^4+b^4+c^4 lớn hơn hoặc bằng ABC(a+b+c)

Để chứng minh rằng \(a^4 + b^4 + c^4 \geq abc(a + b + c)\) với \(a, b, c > 0\), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số \(a^2\) và \(b^2\): \[a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2.\] Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số \(b^2\) và \(c^2\): \[b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2.\] Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số \(c^2\) và \(a^2\): \[c^4 + a^4 \geq 2c^2a^2.\] Bước 4: Cộng ba bất đẳng thức trên lại: \[2(a^4 + b^4 + c^4) \geq 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2).\] \[a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2.\] Bước 5: Ta cần chứng minh rằng \(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq abc(a + b + c)\). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các cặp số \(a^2b^2\), \(b^2c^2\), và \(c^2a^2\): \[a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq 3\sqrt[3]{(a^2b^2)(b^2c^2)(c^2a^2)} = 3a^2b^2c^2.\] Bước 6: Ta cần chứng minh rằng \(3a^2b^2c^2 \geq abc(a + b + c)\). Chia cả hai vế cho \(abc\): \[3abc \geq a + b + c.\] Bước 7: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số \(a\), \(b\), và \(c\): \[\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}.\] \[a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}.\] Do đó, ta đã chứng minh được \(a^4 + b^4 + c^4 \geq abc(a + b + c)\). Đáp số: \(a^4 + b^4 + c^4 \geq abc(a + b + c)\).