Cạnh của hình thoi ABCD có độ dài 26cm. Tổng hai đường chéo bằng 68cm. Tính diện tích của hình thoi đó

Để tính diện tích của hình thoi ABCD, ta cần biết độ dài của hai đường chéo. Ta sẽ gọi độ dài của đường chéo AC là x (cm) và độ dài của đường chéo BD là y (cm). Theo đề bài, ta có: \[ x + y = 68 \] Hình thoi có các đường chéo vuông góc và chia đôi nhau. Do đó, ta có thể chia hình thoi thành 4 tam giác vuông bằng nhau. Mỗi tam giác có các cạnh là nửa độ dài của hai đường chéo và cạnh của hình thoi. Ta có: \[ \left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{2} \right)^2 = 26^2 \] \[ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 676 \] Nhân cả hai vế với 4: \[ x^2 + y^2 = 2704 \] Bây giờ, ta có hai phương trình: 1. \( x + y = 68 \) 2. \( x^2 + y^2 = 2704 \) Ta sẽ dùng phương pháp bình phương để tìm x và y. Đầu tiên, ta bình phương phương trình đầu tiên: \[ (x + y)^2 = 68^2 \] \[ x^2 + 2xy + y^2 = 4624 \] Ta đã biết \( x^2 + y^2 = 2704 \), nên thay vào: \[ 2704 + 2xy = 4624 \] \[ 2xy = 4624 - 2704 \] \[ 2xy = 1920 \] \[ xy = 960 \] Bây giờ, ta có hai phương trình: 1. \( x + y = 68 \) 2. \( xy = 960 \) Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp hoàn chỉnh bình phương. Ta sẽ sử dụng phương pháp thế: Từ phương trình \( x + y = 68 \), ta có: \[ y = 68 - x \] Thay vào phương trình \( xy = 960 \): \[ x(68 - x) = 960 \] \[ 68x - x^2 = 960 \] \[ x^2 - 68x + 960 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng phương pháp phân tích: \[ x^2 - 68x + 960 = 0 \] Ta tìm hai số có tổng là 68 và tích là 960. Đó là 30 và 38. \[ (x - 30)(x - 38) = 0 \] Vậy \( x = 30 \) hoặc \( x = 38 \). Nếu \( x = 30 \), thì \( y = 38 \). Nếu \( x = 38 \), thì \( y = 30 \). Vậy độ dài của hai đường chéo là 30 cm và 38 cm. Diện tích của hình thoi được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \] \[ S = \frac{1}{2} \times 30 \times 38 \] \[ S = \frac{1}{2} \times 1140 \] \[ S = 570 \text{ cm}^2 \] Đáp số: Diện tích của hình thoi là 570 cm².