Câu 3.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định nguyên hàm của :
Biết rằng là một nguyên hàm của . Do đó, .
2. Tính tích phân:
Ta cần tính .
3. Thay vào biểu thức:
4. Tính tích phân từng phần:
5. Tính từng tích phân riêng lẻ:
6. Cộng các kết quả lại:
Do đó, giá trị của là 4.
Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án đúng là 4. Vì vậy, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong đề bài hoặc các đáp án đã cho.
Nhưng nếu dựa trên các đáp án đã cho, chúng ta có thể kiểm tra lại các đáp án đã cho để xem có đáp án nào gần đúng nhất không.
Trong các đáp án đã cho, đáp án gần đúng nhất là .
Vậy đáp án gần đúng nhất là .
Câu 4.
Để xác định hàm số nào nghịch biến trên tập R, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số.
A.
- Đây là hàm số mũ với cơ số . Vì cơ số lớn hơn 1, hàm số này đồng biến trên tập R.
B.
- Đây là hàm số logarit với cơ số 10. Hàm số này đồng biến trên tập R+ (tập các số thực dương).
C.
- Đây là hàm số mũ với cơ số . Vì cơ số nhỏ hơn 1, hàm số này nghịch biến trên tập R.
D.
- Đây là hàm số logarit với cơ số . Vì cơ số nhỏ hơn 1, hàm số này nghịch biến trên tập R+ (tập các số thực dương).
Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng hàm số là hàm số nghịch biến trên tập R.
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5.
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn , ta cần xem xét giá trị của hàm số tại các điểm cực đại và các biên của đoạn.
1. Xét giá trị tại các điểm cực đại:
- Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm . Tại điểm này, giá trị của hàm số là .
2. Xét giá trị tại các biên của đoạn:
- Tại điểm , giá trị của hàm số là .
- Tại điểm , giá trị của hàm số là .
3. So sánh các giá trị:
-
-
-
Từ đó, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là 4, đạt được tại điểm .
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi . Do đó, đáp án đúng là:
Câu 6.
Để tìm bán kính của mặt cầu (S) tâm tiếp xúc với mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
- Công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là:
- Thay tọa độ điểm vào công thức:
2. Kết luận bán kính của mặt cầu:
- Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P), khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng (P) chính là bán kính của mặt cầu.
- Vậy bán kính của mặt cầu là .
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7.
Thể tích của khối chóp được tính theo công thức:
Trong bài này, diện tích đáy là và chiều cao là .
Áp dụng công thức trên, ta có:
Tính toán tiếp:
Vậy thể tích của khối chóp là .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 8.
Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Mặt phẳng có phương trình . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là .
2. Mặt phẳng song song với :
Vì hai mặt phẳng song song nên chúng có cùng vectơ pháp tuyến. Do đó, mặt phẳng cần tìm cũng có vectơ pháp tuyến .
3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến :
Phương trình mặt phẳng có dạng .
4. Rút gọn phương trình:
Vậy phương trình của mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng là: