Tính tổng các nghiệm của phương trình.

Câu 5 Điều kiện: $\cos 2x \neq 0$ hay $x \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$ Ta có: \[ \frac{\sin^{10}x + \cos^{10}x}{4} = \frac{\sin^6x + \cos^6x}{4\cos^22x + \sin^22x} \] Nhân cả hai vế với $4(4\cos^22x + \sin^22x)$: \[ (\sin^{10}x + \cos^{10}x)(4\cos^22x + \sin^22x) = 4(\sin^6x + \cos^6x) \] Ta biết rằng: \[ \sin^6x + \cos^6x = (\sin^2x + \cos^2x)(\sin^4x - \sin^2x\cos^2x + \cos^4x) = \sin^4x - \sin^2x\cos^2x + \cos^4x \] Do đó: \[ (\sin^{10}x + \cos^{10}x)(4\cos^22x + \sin^22x) = 4(\sin^4x - \sin^2x\cos^2x + \cos^4x) \] Ta cũng biết rằng: \[ \sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2\sin^2x\cos^2x \] Do đó: \[ 4(\sin^4x - \sin^2x\cos^2x + \cos^4x) = 4(1 - 3\sin^2x\cos^2x) \] Bây giờ ta xét trường hợp $\sin^2x = \cos^2x$. Điều này xảy ra khi $\sin x = \pm \cos x$, tức là $x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Tuy nhiên, do điều kiện $\cos 2x \neq 0$, ta loại các giá trị này. Trường hợp còn lại là $\sin^2x \neq \cos^2x$. Ta có thể chia cả hai vế cho $(\sin^2x - \cos^2x)^2$: \[ \frac{\sin^{10}x + \cos^{10}x}{4} = \frac{\sin^6x + \cos^6x}{4\cos^22x + \sin^22x} \] Sau khi giản ước, ta nhận thấy rằng phương trình này chỉ đúng khi $\sin^2x = \cos^2x$, nhưng đã bị loại ở trên. Do đó, phương trình ban đầu không có nghiệm trong khoảng $[0; 2\pi]$ thỏa mãn điều kiện. Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \[ \boxed{0} \]