Tìm giá trị của m.

Để hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 1$, ta cần đảm bảo rằng: 1. Giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải ($x > 1$) bằng với giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái ($x < 1$). 2. Giá trị của $f(1)$ bằng với giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ cả hai phía. Ta sẽ tính từng giới hạn này. Bước 1: Tính giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải ($x > 1$) $f(x) = \frac{1}{x-1} - \frac{3}{x^3-1}$ Khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải, ta có: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{3}{x^3-1}\right)$ Ta biết rằng $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$, do đó: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{3}{(x-1)(x^2 + x + 1)}\right)$ $= \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{3}{(x-1)(x^2 + x + 1)}\right)$ $= \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{(x^2 + x + 1) - 3}{(x-1)(x^2 + x + 1)}\right)$ $= \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^2 + x - 2}{(x-1)(x^2 + x + 1)}\right)$ $= \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2 + x + 1)}\right)$ $= \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x+2}{x^2 + x + 1}\right)$ $= \frac{1+2}{1^2 + 1 + 1} = \frac{3}{3} = 1$ Bước 2: Tính giá trị của $f(x)$ khi $x = 1$ $f(1) = |1^2 + m| = |1 + m|$ Bước 3: Đảm bảo liên tục tại $x = 1$ Để hàm số liên tục tại $x = 1$, ta cần: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ Do đó: $1 = |1 + m|$ Từ đây, ta có hai trường hợp: 1. $1 + m = 1$ $m = 0$ 2. $1 + m = -1$ $m = -2$ Vậy giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại điểm $x = 1$ là $m = 0$ hoặc $m = -2$.