Đáp án đúng

Câu 9. Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{CD}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - S(0, 0, a) 2. Tìm tọa độ của các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{SB} = B - S = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)$ - Vectơ $\overrightarrow{CD} = D - C = (0, a, 0) - (a, a, 0) = (-a, 0, 0)$ 3. Tính tích vô hướng của hai vectơ: - $\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{CD} = (a, 0, -a) \cdot (-a, 0, 0) = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + (-a) \cdot 0 = -a^2$ 4. Tính độ dài của các vectơ: - $|\overrightarrow{SB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ - $|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a$ 5. Tính cosin của góc giữa hai vectơ: - $\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{SB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-a^2}{a\sqrt{2} \cdot a} = \frac{-a^2}{a^2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 6. Xác định góc: - $\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ suy ra $\theta = 135^\circ$ Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là $135^\circ$. Đáp án đúng là B. 135°. Câu 10. Để tính diện tích hình phẳng được tô màu, chúng ta cần chia hình phẳng thành hai phần và tính diện tích của mỗi phần riêng biệt, sau đó cộng lại. 1. Tính diện tích từ x = -2 đến x = 1: - Trên đoạn này, hàm số \( y = f(x) \) nằm phía trên hàm số \( y = g(x) \). - Diện tích phần này là: \[ S_1 = \int_{-2}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx \] 2. Tính diện tích từ x = 1 đến x = 3: - Trên đoạn này, hàm số \( y = g(x) \) nằm phía trên hàm số \( y = f(x) \). - Diện tích phần này là: \[ S_2 = \int_{1}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx \] 3. Tổng diện tích hình phẳng được tô màu: - Tổng diện tích là tổng của hai diện tích đã tính ở trên: \[ S = S_1 + S_2 = \int_{-2}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{1}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx \] Do đó, công thức tính diện tích hình phẳng được tô màu là: \[ S = \int_{-2}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{1}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx \] Đáp án đúng là: \[ A.~S = \int_{-2}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{1}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx \] Câu 11. Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}x^4 - 2x^2 - 3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Ta có: \[ y' = \left(\frac{1}{2}x^4 - 2x^2 - 3\right)' = 2x^3 - 4x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 2x^3 - 4x = 0 \] \[ 2x(x^2 - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \sqrt{2} \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị Ta cần kiểm tra đạo hàm bậc hai để xác định tính chất của các điểm cực trị: \[ y'' = (2x^3 - 4x)' = 6x^2 - 4 \] - Tại $x = 0$: \[ y''(0) = 6(0)^2 - 4 = -4 < 0 \] Do đó, $x = 0$ là điểm cực đại. - Tại $x = \sqrt{2}$: \[ y''(\sqrt{2}) = 6(\sqrt{2})^2 - 4 = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, $x = \sqrt{2}$ là điểm cực tiểu. - Tại $x = -\sqrt{2}$: \[ y''(-\sqrt{2}) = 6(-\sqrt{2})^2 - 4 = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, $x = -\sqrt{2}$ cũng là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại Tại $x = 0$: \[ y(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - 2(0)^2 - 3 = -3 \] Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0, -3)$. Đáp án: D. $(0, -3)$. Câu 12. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính trọng lượng trung tâm của mỗi nhóm. - Nhân trọng lượng trung tâm của mỗi nhóm với số ngày tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị này lại và chia cho tổng số ngày. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi trọng lượng trung tâm và trung bình cộng. - Nhân kết quả này với số ngày tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị này lại và chia cho tổng số ngày. 3. Tính độ lệch chuẩn: - Lấy căn bậc hai của phương sai. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước này. Bước 1: Tính trung bình cộng Trọng lượng trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [20; 25): Trọng lượng trung tâm là $\frac{20 + 25}{2} = 22,5$ - Nhóm [25; 30): Trọng lượng trung tâm là $\frac{25 + 30}{2} = 27,5$ - Nhóm [30; 35): Trọng lượng trung tâm là $\frac{30 + 35}{2} = 32,5$ - Nhóm [35; 40): Trọng lượng trung tâm là $\frac{35 + 40}{2} = 37,5$ - Nhóm [40; 45): Trọng lượng trung tâm là $\frac{40 + 45}{2} = 42,5$ Số ngày tương ứng: - Nhóm [20; 25): 6 ngày - Nhóm [25; 30): 6 ngày - Nhóm [30; 35): 4 ngày - Nhóm [35; 40): 1 ngày - Nhóm [40; 45): 1 ngày Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(22,5 \times 6) + (27,5 \times 6) + (32,5 \times 4) + (37,5 \times 1) + (42,5 \times 1)}{6 + 6 + 4 + 1 + 1} \] \[ = \frac{(135) + (165) + (130) + (37,5) + (42,5)}{18} \] \[ = \frac{510}{18} = 28,33 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó: - \(f_i\) là số ngày của nhóm thứ i. - \(x_i\) là trọng lượng trung tâm của nhóm thứ i. - \(\bar{x}\) là trung bình cộng. - \(n\) là tổng số ngày. Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(6 \times (22,5 - 28,33)^2) + (6 \times (27,5 - 28,33)^2) + (4 \times (32,5 - 28,33)^2) + (1 \times (37,5 - 28,33)^2) + (1 \times (42,5 - 28,33)^2)}{18} \] \[ = \frac{(6 \times (-5,83)^2) + (6 \times (-0,83)^2) + (4 \times (4,17)^2) + (1 \times (9,17)^2) + (1 \times (14,17)^2)}{18} \] \[ = \frac{(6 \times 33,9889) + (6 \times 0,6889) + (4 \times 17,3889) + (1 \times 84,0889) + (1 \times 200,7889)}{18} \] \[ = \frac{(203,9334) + (4,1334) + (69,5556) + (84,0889) + (200,7889)}{18} \] \[ = \frac{562,5}{18} = 31,25 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{31,25} \approx 5,59 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 5,59 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp án đúng là: C. 5,59. Câu 13. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm A, B, C - Điểm \( M(1;2;3) \) có hình chiếu vuông góc lên trục \( Ox \) là điểm \( A(1;0;0) \). - Điểm \( M(1;2;3) \) có hình chiếu vuông góc lên trục \( Oy \) là điểm \( B(0;2;0) \). - Điểm \( M(1;2;3) \) có hình chiếu vuông góc lên trục \( Oz \) là điểm \( C(0;0;3) \). Bước 2: Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C - Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm \( A(1;0;0) \), \( B(0;2;0) \), \( C(0;0;3) \). - Ta có hai vectơ trong mặt phẳng (P): \[ \overrightarrow{AB} = (-1; 2; 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-1; 0; 3) \] - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (6; 3; 2) \] - Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ 6x + 3y + 2z = d \] - Thay tọa độ của điểm \( A(1;0;0) \) vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ 6 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = d \implies d = 6 \] - Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 6x + 3y + 2z = 6 \] - Chia cả hai vế cho 6 để đơn giản hóa phương trình: \[ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \] Bước 3: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) - Từ phương trình mặt phẳng (P) đã tìm được, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \overrightarrow{n}(1; 2; 3) \] Bước 4: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) - Công thức khoảng cách từ một điểm \( (x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Thay \( a = 6 \), \( b = 3 \), \( c = 2 \), \( d = -6 \), và điểm \( O(0,0,0) \): \[ d = \frac{|6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{36 + 9 + 4}} = \frac{6}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7} \] Kết luận: - Đáp án đúng là: \[ a)~A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3). \] \[ b)~Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1. \] \[ c)~Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \overrightarrow{n}(1;2;3). \] \[ d)~Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng \frac{6}{7}. \] Câu 14. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất tổng hợp và xác suất có điều kiện. Bước 1: Xác định các biến cố và xác suất liên quan - Biến cố \( B \): Vật thể bay là mục tiêu thật. - Biến cố \( \overline{B} \): Vật thể bay là mục tiêu giả. - Biến cố \( A \): Hệ thống radar phát cảnh báo. Các xác suất đã cho: - \( P(B) = 0,99 \) - \( P(\overline{B}) = 0,01 \) - \( P(A|B) = 0,9 \) (xác suất hệ thống radar phát cảnh báo khi vật thể bay là mục tiêu thật) - \( P(A|\overline{B}) = 0,05 \) (xác suất hệ thống radar phát cảnh báo khi vật thể bay là mục tiêu giả) Bước 2: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp để tìm \( P(A) \) Theo công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Thay các giá trị vào: \[ P(A) = 0,9 \cdot 0,99 + 0,05 \cdot 0,01 \] \[ P(A) = 0,891 + 0,0005 \] \[ P(A) = 0,8915 \] Bước 3: Tính xác suất có điều kiện \( P(B|A) \) Theo công thức xác suất có điều kiện: \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \] Thay các giá trị vào: \[ P(B|A) = \frac{0,9 \cdot 0,99}{0,8915} \] \[ P(B|A) = \frac{0,891}{0,8915} \] \[ P(B|A) \approx 0,9994 \] Kết luận: - Xác suất hệ thống radar phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay là \( P(A) = 0,8915 \). - Xác suất vật thể bay là mục tiêu thật khi hệ thống radar phát cảnh báo là \( P(B|A) \approx 0,9994 \). Đáp số: \[ P(A) = 0,8915 \] \[ P(B|A) \approx 0,9994 \]