Đáp án đúng

Câu 5. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \(\sin x\). \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \(1\). \[ \int 1 \, dx = x + C_2 \] Bước 3: Cộng lại các kết quả nguyên hàm đã tìm được. \[ \int (\sin x + 1) \, dx = -\cos x + x + C \] Trong đó, \(C\) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \(C_1\) và \(C_2\). Vậy, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x + 1 \) là: \[ -\cos x + x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~-\cos x + x + C \] Câu 6. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một: A. $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C'A'}$ - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C của mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{C'A'}$ là vectơ từ đỉnh C' đến đỉnh A' của mặt trên A'B'C'D'. - Vì hai vectơ này không cùng hướng và không cùng độ dài nên khẳng định này sai. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AA'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B của mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh D của mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C của mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh A' của mặt trên A'B'C'D'. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, nhưng $\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{AA'}$. Do đó, khẳng định này sai. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{0}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B của mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{C'D'}$ là vectơ từ đỉnh C' đến đỉnh D' của mặt trên A'B'C'D'. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{C'D'}$ là hai vectơ song song và ngược chiều, do đó tổng của chúng là vectơ null ($\overrightarrow{0}$). Khẳng định này đúng. D. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B của mặt đáy ABCD. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ từ đỉnh C đến đỉnh D của mặt đáy ABCD. - Vì hai vectơ này không cùng hướng nên khẳng định này sai. Vậy khẳng định đúng là: C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{0}$. Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để đơn giản hóa biểu thức \(1 + \log(3a) - \log(2a)\). Bước 1: Áp dụng tính chất logarit \(\log(a) - \log(b) = \log\left(\frac{a}{b}\right)\): \[1 + \log(3a) - \log(2a) = 1 + \log\left(\frac{3a}{2a}\right)\] Bước 2: Rút gọn phân số trong biểu thức logarit: \[1 + \log\left(\frac{3a}{2a}\right) = 1 + \log\left(\frac{3}{2}\right)\] Bước 3: Biểu thức \(1\) có thể được viết lại dưới dạng logarit cơ bản: \[1 = \log(10)\] Do đó, ta có: \[1 + \log\left(\frac{3}{2}\right) = \log(10) + \log\left(\frac{3}{2}\right)\] Bước 4: Áp dụng tính chất logarit \(\log(a) + \log(b) = \log(ab)\): \[\log(10) + \log\left(\frac{3}{2}\right) = \log\left(10 \times \frac{3}{2}\right) = \log\left(\frac{30}{2}\right) = \log(15)\] Vậy, biểu thức \(1 + \log(3a) - \log(2a)\) bằng \(\log(15)\). Đáp án đúng là: \(C.~\log15.\) Câu 8. Để tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong \( y = x^2 \) và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 5 \) quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = x^2 \) - Giới hạn tích phân từ \( a = 0 \) đến \( b = 5 \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{5} (x^2)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{5} x^4 \, dx \] Bây giờ, ta tính tích phân: \[ \int_{0}^{5} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{5} \] \[ = \frac{5^5}{5} - \frac{0^5}{5} \] \[ = \frac{3125}{5} - 0 \] \[ = 625 \] Như vậy, thể tích của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \times 625 = 625\pi \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~625\pi \] Câu 9. Để tìm thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của các em học sinh, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung tâm của mỗi khoảng thời gian: - Khoảng [0; 4): Trung tâm là $\frac{0 + 4}{2} = 2$ phút. - Khoảng [4; 8): Trung tâm là $\frac{4 + 8}{2} = 6$ phút. - Khoảng [8; 12): Trung tâm là $\frac{8 + 12}{2} = 10$ phút. - Khoảng [12; 16): Trung tâm là $\frac{12 + 16}{2} = 14$ phút. - Khoảng [16; 20): Trung tâm là $\frac{16 + 20}{2} = 18$ phút. 2. Nhân số lượng học sinh trong mỗi khoảng với trung tâm của khoảng đó: - Khoảng [0; 4): $2 \times 2 = 4$ - Khoảng [4; 8): $4 \times 6 = 24$ - Khoảng [8; 12): $7 \times 10 = 70$ - Khoảng [12; 16): $4 \times 14 = 56$ - Khoảng [16; 20): $3 \times 18 = 54$ 3. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh là $2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20$ học sinh. 4. Tính tổng thời gian của tất cả các học sinh: Tổng thời gian là $4 + 24 + 70 + 56 + 54 = 208$ phút. 5. Tính thời gian trung bình: Thời gian trung bình là $\frac{208}{20} = 10.4$ phút. Vậy thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của các em học sinh là 10,4 phút. Đáp án đúng là: A. 10,4. Câu 10. Để xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta cần tìm góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABC). Trước tiên, ta nhận thấy rằng SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Do đó, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A. Hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABC) sẽ là đường thẳng AC (vì C nằm trên mặt phẳng (ABC)). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng AC. Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc SCA. Vậy đáp án đúng là: B. SCA Câu 11. Để xác định số điểm cực đại của hàm số $y = f(x)$, ta cần phân tích đồ thị của đạo hàm $f'(x)$. Trước tiên, ta nhận thấy rằng $f'(x) = ax^4 + bx^2 + c$ là một đa thức bậc 4. Đồ thị của $f'(x)$ cho thấy nó có hai điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. Điều này có nghĩa là $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương tại hai điểm cực tiểu này. Bây giờ, ta sẽ phân tích các đoạn trên đồ thị của $f'(x)$: - Từ $-\infty$ đến điểm cực tiểu đầu tiên, $f'(x)$ là âm. - Từ điểm cực tiểu đầu tiên đến điểm cực tiểu thứ hai, $f'(x)$ là dương. - Từ điểm cực tiểu thứ hai đến $+\infty$, $f'(x)$ lại là âm. Từ đây, ta suy ra: - Khi $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương, hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu. - Khi $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm, hàm số $f(x)$ đạt cực đại. Do đó, ta có: - $f(x)$ đạt cực tiểu tại hai điểm tương ứng với hai điểm cực tiểu của $f'(x)$. - $f(x)$ không đạt cực đại vì $f'(x)$ không chuyển từ dương sang âm ở bất kỳ điểm nào. Vậy, hàm số $y = f(x)$ có 0 điểm cực đại. Đáp án đúng là: D. 0. Câu 12. Để tìm tọa độ của điểm A, ta thay y = 0 và z = 0 vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 3x + 0 - 4 \cdot 0 - 12 = 0 \] \[ 3x - 12 = 0 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = 4 \] Vậy tọa độ của điểm A là (4, 0, 0). Để tìm tọa độ của điểm B, ta thay x = 0 và y = 0 vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 3 \cdot 0 + 0 - 4z - 12 = 0 \] \[ -4z - 12 = 0 \] \[ -4z = 12 \] \[ z = -3 \] Vậy tọa độ của điểm B là (0, 0, -3). Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa các điểm O(0, 0, 0), A(4, 0, 0), và B(0, 0, -3). Khoảng cách OA: \[ OA = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{16} = 4 \] Khoảng cách OB: \[ OB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{9} = 3 \] Khoảng cách AB: \[ AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Chu vi tam giác OAB là tổng các cạnh: \[ Chu vi = OA + OB + AB = 4 + 3 + 5 = 12 \] Vậy đáp án đúng là B. 12. Câu 13. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết phương trình của mặt phẳng đã cho. Tuy nhiên, trong đề bài chưa cung cấp phương trình của mặt phẳng đó. Do đó, tôi sẽ giả sử phương trình của mặt phẳng là \(ax + by + cz + d = 0\). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với bài toán này, không có yêu cầu về ĐKXĐ vì không liên quan đến phân thức, căn thức hoặc logarit. Bước 2: Tìm khoảng cách từ điểm \(A(0;0;2)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) Công thức khoảng cách từ một điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng công thức này vào điểm \(A(0;0;2)\): \[ d = \frac{|a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 2 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|2c + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Vậy khoảng cách từ điểm \(A(0;0;2)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là: \[ d = \frac{|2c + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Đáp số: Khoảng cách từ điểm \(A(0;0;2)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là \(\frac{|2c + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).