Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: 1. Khai triển hằng đẳng thức: a) $(4x + y)^2 = 16x^2 + 8xy + y^2$ b) $(3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$ c) $(3x + y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2$ d) $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ e) $2(2x + 3y)^2 = 2(4x^2 + 12xy + 9y^2) = 8x^2 + 24xy + 18y^2$ f) $(5x - y)^2 = 25x^2 - 10xy + y^2$ g) $(2 + 3x)^2 = 4 + 12x + 9x^2$ h) $(x - 2)(x^2 + 2x + 7) + 2(x - 2)(x + 2) = x^3 + 2x^2 + 7x - 2x^2 - 4x - 14 + 2(x^2 - 4) = x^3 + 3x - 14 + 2x^2 - 8 = x^3 + 2x^2 + 3x - 22$ i) $(x - 2y)^3 = x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3$ j) $(5x + 2y)^3 = 125x^3 + 150x^2y + 60xy^2 + 8y^3$ k) $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ l) $(2x + 3)^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$ m) $(x - 5)^3 = x^3 - 15x^2 + 75x - 125$ n) $(3x + 1)(3x - 1) = 9x^2 - 1$ o) $(x + 5y)(x - 5y) = x^2 - 25y^2$ p) $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ q) $4x^2 - 9y^2 = (2x - 3y)(2x + 3y)$ r) $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 27$ s) $(x - 5)(x^2 + 5x + 25) = x^3 - 125$ 2. Giải phương trình: a) $23.~(x - 3)(x^2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 19$ $(x - 3)(x^3 - 27) + x(x + 2)(2 - x) = 19$ $x^4 - 27x - 3x^3 + 81 + x(-x^2 + 4) = 19$ $x^4 - 3x^3 - 27x + 81 - x^3 + 4x = 19$ $x^4 - 4x^3 - 23x + 62 = 0$ Phương trình này phức tạp và khó giải trực tiếp, do đó chúng ta sẽ chuyển sang phương pháp thử nghiệm hoặc sử dụng máy tính để tìm nghiệm. b) $24.~(x + 2)^2 - (x - 2)(x + 2) = 0$ $(x + 2)^2 - (x^2 - 4) = 0$ $x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4 = 0$ $4x + 8 = 0$ $4x = -8$ $x = -2$ c) $25.~5(x + 3) - 2x(3 + x) = 0$ $5x + 15 - 6x - 2x^2 = 0$ $-2x^2 - x + 15 = 0$ $2x^2 + x - 15 = 0$ $(2x - 5)(x + 3) = 0$ $2x - 5 = 0$ hoặc $x + 3 = 0$ $x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = -3$ d) $26.~4x^2 - 81 = 0$ $(2x - 9)(2x + 9) = 0$ $2x - 9 = 0$ hoặc $2x + 9 = 0$ $x = \frac{9}{2}$ hoặc $x = -\frac{9}{2}$ e) $27.~25x^2 - 9 = 0$ $(5x - 3)(5x + 3) = 0$ $5x - 3 = 0$ hoặc $5x + 3 = 0$ $x = \frac{3}{5}$ hoặc $x = -\frac{3}{5}$ f) $28.~(x + 2)^2 - x^2 + 4 = 0$ $x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4 = 0$ $4x + 8 = 0$ $4x = -8$ $x = -2$ g) $29.~(2x - 1)^2 + (x + 3)^2 - 5(x + 7)(x - 7) = 0$ $4x^2 - 4x + 1 + x^2 + 6x + 9 - 5(x^2 - 49) = 0$ $4x^2 - 4x + 1 + x^2 + 6x + 9 - 5x^2 + 245 = 0$ $2x + 255 = 0$ $2x = -255$ $x = -\frac{255}{2}$ Đáp số: 1. Các hằng đẳng thức đã được khai triển. 2. a) Phương trình phức tạp, cần dùng máy tính hoặc phương pháp thử nghiệm. b) $x = -2$ c) $x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = -3$ d) $x = \frac{9}{2}$ hoặc $x = -\frac{9}{2}$ e) $x = \frac{3}{5}$ hoặc $x = -\frac{3}{5}$ f) $x = -2$ g) $x = -\frac{255}{2}$ Bài 4: Để giải quyết các yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Tính \( x^3 + y^3 \) Ta biết rằng: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \] Bước 1: Tính \( x^2 + y^2 \) \[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \] \[ x^2 + y^2 = 3^2 - 2(-2) \] \[ x^2 + y^2 = 9 + 4 \] \[ x^2 + y^2 = 13 \] Bước 2: Tính \( x^2 - xy + y^2 \) \[ x^2 - xy + y^2 = x^2 + y^2 - xy \] \[ x^2 - xy + y^2 = 13 - (-2) \] \[ x^2 - xy + y^2 = 13 + 2 \] \[ x^2 - xy + y^2 = 15 \] Bước 3: Tính \( x^3 + y^3 \) \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \] \[ x^3 + y^3 = 3 \times 15 \] \[ x^3 + y^3 = 45 \] Phần b) Tính \( (x^3 - y^3)^2 \) Ta biết rằng: \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \] Bước 1: Tính \( x - y \) \[ (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy \] \[ (x - y)^2 = 3^2 - 4(-2) \] \[ (x - y)^2 = 9 + 8 \] \[ (x - y)^2 = 17 \] \[ x - y = \sqrt{17} \text{ hoặc } x - y = -\sqrt{17} \] Bước 2: Tính \( x^2 + xy + y^2 \) \[ x^2 + xy + y^2 = x^2 + y^2 + xy \] \[ x^2 + xy + y^2 = 13 + (-2) \] \[ x^2 + xy + y^2 = 11 \] Bước 3: Tính \( x^3 - y^3 \) \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \] \[ x^3 - y^3 = (\sqrt{17})(11) \text{ hoặc } x^3 - y^3 = (-\sqrt{17})(11) \] \[ x^3 - y^3 = 11\sqrt{17} \text{ hoặc } x^3 - y^3 = -11\sqrt{17} \] Bước 4: Tính \( (x^3 - y^3)^2 \) \[ (x^3 - y^3)^2 = (11\sqrt{17})^2 \text{ hoặc } (x^3 - y^3)^2 = (-11\sqrt{17})^2 \] \[ (x^3 - y^3)^2 = 121 \times 17 \] \[ (x^3 - y^3)^2 = 2057 \] Kết luận a) \( x^3 + y^3 = 45 \) b) \( (x^3 - y^3)^2 = 2057 \) Bài 2: Để rút gọn biểu thức, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể là gì. Hãy cung cấp biểu thức cần rút gọn để tôi có thể giúp bạn giải quyết nó. Bài 5: Để tính nhanh \(101^3\) và \(99^3\), ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích cấu trúc và các hằng đẳng thức. Tính \(101^3\): Ta có: \[ 101 = 100 + 1 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \): \[ 101^3 = (100 + 1)^3 \] \[ = 100^3 + 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 + 1^3 \] \[ = 1000000 + 3 \cdot 10000 + 3 \cdot 100 + 1 \] \[ = 1000000 + 30000 + 300 + 1 \] \[ = 1030301 \] Tính \(99^3\): Ta có: \[ 99 = 100 - 1 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \): \[ 99^3 = (100 - 1)^3 \] \[ = 100^3 - 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 - 1^3 \] \[ = 1000000 - 3 \cdot 10000 + 3 \cdot 100 - 1 \] \[ = 1000000 - 30000 + 300 - 1 \] \[ = 970299 \] Tính \(10 \times (3x+4)^2 + (4x-1)^2 + (2x+5)(2x-5)\): Bước 1: Tính \( (3x+4)^2 \) \[ (3x+4)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 \] \[ = 9x^2 + 24x + 16 \] Bước 2: Tính \( (4x-1)^2 \) \[ (4x-1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 \] \[ = 16x^2 - 8x + 1 \] Bước 3: Tính \( (2x+5)(2x-5) \) \[ (2x+5)(2x-5) = (2x)^2 - 5^2 \] \[ = 4x^2 - 25 \] Bước 4: Cộng tất cả lại \[ 10 \times (3x+4)^2 + (4x-1)^2 + (2x+5)(2x-5) \] \[ = 10 \times (9x^2 + 24x + 16) + (16x^2 - 8x + 1) + (4x^2 - 25) \] \[ = 90x^2 + 240x + 160 + 16x^2 - 8x + 1 + 4x^2 - 25 \] \[ = 90x^2 + 16x^2 + 4x^2 + 240x - 8x + 160 + 1 - 25 \] \[ = 110x^2 + 232x + 136 \] Đáp số: \[ 101^3 = 1030301 \] \[ 99^3 = 970299 \] \[ 10 \times (3x+4)^2 + (4x-1)^2 + (2x+5)(2x-5) = 110x^2 + 232x + 136 \] Bài 6: Để viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu, chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức đã học. Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức sau: 1. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 2. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các hằng đẳng thức này để viết các biểu thức dưới dạng bình phương. Bài 11: $(2x+1)(4x^2-2x+1)+(2-3x)(4+6x+9x^2)$ Ta nhận thấy rằng $(2x+1)(4x^2-2x+1)$ và $(2-3x)(4+6x+9x^2)$ đều có dạng $(a+b)(a^2-ab+b^2)$, đây là dạng của hằng đẳng thức $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$. - $(2x+1)(4x^2-2x+1) = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1$ - $(2-3x)(4+6x+9x^2) = 2^3 - (3x)^3 = 8 - 27x^3$ Do đó, biểu thức ban đầu trở thành: \[ 8x^3 + 1 + 8 - 27x^3 = -19x^3 + 9 \] Bài 12: $(x+y)^2 + (x-y)^2 - 2x^2$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ và $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ta có: \[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] \[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] Do đó, biểu thức ban đầu trở thành: \[ (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) - 2x^2 = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 - 2x^2 = 2y^2 \] Bài 13: $(x+1)^2 - (x-1)^2 - 3(x+1)(x-1)$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ và $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ta có: \[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] \[ (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \] Do đó, biểu thức ban đầu trở thành: \[ (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) - 3(x^2 - 1) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 - 3x^2 + 3 = 4x - 3x^2 + 3 \] Bài 14: $a)~x^2-20x+100~b)~x^2+10x+25$ $c)~x^2-12xy+36y^2$ $d)~y^4+4xy^2+4x^2$ a) $x^2 - 20x + 100$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ta có: \[ x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2 \] b) $x^2 + 10x + 25$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ta có: \[ x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \] c) $x^2 - 12xy + 36y^2$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ta có: \[ x^2 - 12xy + 36y^2 = (x - 6y)^2 \] d) $y^4 + 4xy^2 + 4x^2$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ta có: \[ y^4 + 4xy^2 + 4x^2 = (y^2 + 2x)^2 \] Đáp số: 1. $-19x^3 + 9$ 2. $2y^2$ 3. $4x - 3x^2 + 3$ 4. a) $(x - 10)^2$ b) $(x + 5)^2$ c) $(x - 6y)^2$ d) $(y^2 + 2x)^2$ Bài 7: Để mỗi đa thức trở thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu, chúng ta cần tìm hạng tử thích hợp sao cho đa thức đó có dạng \(A^2\) hoặc \((A+B)^2\) hoặc \((A-B)^2\). a) \(16x^2 + 24xy + \) Ta nhận thấy rằng \(16x^2 = (4x)^2\) và \(24xy = 2 \cdot 4x \cdot 3y\). Do đó, để đa thức này trở thành bình phương của một tổng, hạng tử còn lại phải là \((3y)^2 = 9y^2\). Vậy, \(16x^2 + 24xy + 9y^2 = (4x + 3y)^2\). Hạng tử thích hợp là \(9y^2\). b) \( - 42xy + 49y^2\) Ta nhận thấy rằng \(49y^2 = (7y)^2\) và \(-42xy = -2 \cdot 7y \cdot 3x\). Do đó, để đa thức này trở thành bình phương của một hiệu, hạng tử còn lại phải là \((3x)^2 = 9x^2\). Vậy, \(9x^2 - 42xy + 49y^2 = (3x - 7y)^2\). Hạng tử thích hợp là \(9x^2\). c) \(25x^2 + + 81\) Ta nhận thấy rằng \(25x^2 = (5x)^2\) và \(81 = 9^2\). Do đó, để đa thức này trở thành bình phương của một tổng, hạng tử còn lại phải là \(2 \cdot 5x \cdot 9 = 90x\). Vậy, \(25x^2 + 90x + 81 = (5x + 9)^2\). Hạng tử thích hợp là \(90x\). d) \(64x^2 - + 9\) Ta nhận thấy rằng \(64x^2 = (8x)^2\) và \(9 = 3^2\). Do đó, để đa thức này trở thành bình phương của một hiệu, hạng tử còn lại phải là \(2 \cdot 8x \cdot 3 = 48x\). Vậy, \(64x^2 - 48x + 9 = (8x - 3)^2\). Hạng tử thích hợp là \(48x\). e) \(x^2 + 20x + \) Ta nhận thấy rằng \(x^2 = (x)^2\) và \(20x = 2 \cdot x \cdot 10\). Do đó, để đa thức này trở thành bình phương của một tổng, hạng tử còn lại phải là \(10^2 = 100\). Vậy, \(x^2 + 20x + 100 = (x + 10)^2\). Hạng tử thích hợp là \(100\). f) \(y^2 - + 49\) Ta nhận thấy rằng \(y^2 = (y)^2\) và \(49 = 7^2\). Do đó, để đa thức này trở thành bình phương của một hiệu, hạng tử còn lại phải là \(2 \cdot y \cdot 7 = 14y\). Vậy, \(y^2 - 14y + 49 = (y - 7)^2\). Hạng tử thích hợp là \(14y\). Đáp số: a) \(9y^2\) b) \(9x^2\) c) \(90x\) d) \(48x\) e) \(100\) f) \(14y\) Bài 8: a) Ta có: $x^2-8x+19=x^2-8x+16+3=(x-4)^2+3$ Biểu thức trên là tổng của một bình phương và 3 nên luôn dương. b) Ta có: $x^2+y^2-4x+2=x^2-4x+4+y^2-2=(x-2)^2+y^2-2$ Biểu thức trên là tổng của một bình phương và một số dương nên luôn dương. c) Ta có: $4x^2+4x+3=4x^2+4x+1+2=(2x+1)^2+2$ Biểu thức trên là tổng của một bình phương và 2 nên luôn dương. d) Ta có: $x^2-2xy+2y^2+2y+5=x^2-2xy+y^2+y^2+2y+1+4=(x-y)^2+(y+1)^2+4$ Biểu thức trên là tổng của hai bình phương và 4 nên luôn dương. Bài 9: Để chứng minh các biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của biến, ta sẽ thực hiện các phép biến đổi và phân tích cấu trúc của các biểu thức. Bài 22: $(x^2+2)^2-(x+2)(x-2)(x^2+4)$ Ta có: \[ (x^2+2)^2 - (x+2)(x-2)(x^2+4) \] Biến đổi: \[ (x^2+2)^2 - [(x+2)(x-2)](x^2+4) \] \[ = (x^2+2)^2 - (x^2-4)(x^2+4) \] \[ = (x^2+2)^2 - (x^4 - 16) \] \[ = x^4 + 4x^2 + 4 - x^4 + 16 \] \[ = 4x^2 + 20 \] Biểu thức này luôn dương vì $4x^2 \geq 0$ và $20 > 0$. Do đó, biểu thức này không luôn âm. Bài 23: $(x-2)^3 - x(x+1)(x-1) + 6x(x-3)$ Ta có: \[ (x-2)^3 - x(x+1)(x-1) + 6x(x-3) \] Biến đổi: \[ (x-2)^3 - x(x^2-1) + 6x(x-3) \] \[ = (x-2)^3 - x^3 + x + 6x^2 - 18x \] \[ = (x-2)^3 - x^3 + 6x^2 - 17x \] Phân tích: \[ (x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \] \[ (x-2)^3 - x^3 + 6x^2 - 17x = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - x^3 + 6x^2 - 17x \] \[ = -5x - 8 \] Biểu thức này không luôn âm vì nó phụ thuộc vào giá trị của $x$. Bài 24: $(x-2)(x^2-2x+4)(x+2)(x^2+2x+4)$ Ta có: \[ (x-2)(x^2-2x+4)(x+2)(x^2+2x+4) \] Biến đổi: \[ [(x-2)(x+2)][(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)] \] \[ = (x^2-4)[(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)] \] Phân tích: \[ (x^2-2x+4)(x^2+2x+4) = (x^2+4)^2 - (2x)^2 = x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2 = x^4 + 4x^2 + 16 \] \[ (x^2-4)(x^4 + 4x^2 + 16) \] Biểu thức này không luôn âm vì nó phụ thuộc vào giá trị của $x$. Bài 25: $(6x+1)^2 + (6x-1)^2 - 2(1+6x)(6x-1)$ Ta có: \[ (6x+1)^2 + (6x-1)^2 - 2(1+6x)(6x-1) \] Biến đổi: \[ (6x+1)^2 + (6x-1)^2 - 2[(6x+1)(6x-1)] \] \[ = (6x+1)^2 + (6x-1)^2 - 2(36x^2 - 1) \] \[ = 36x^2 + 12x + 1 + 36x^2 - 12x + 1 - 72x^2 + 2 \] \[ = 4 \] Biểu thức này luôn dương vì $4 > 0$. Do đó, biểu thức này không luôn âm. Kết luận: Các biểu thức trên không luôn âm với mọi giá trị của biến. Bài 10: Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương. Bài 26: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $(x-y+z)^2 + (y-z)^2 + 2(x-y+z)(y-z)$ Gọi $A = x - y + z$ và $B = y - z$. Biểu thức trở thành: \[ A^2 + B^2 + 2AB \] Ta nhận thấy rằng: \[ A^2 + B^2 + 2AB = (A + B)^2 \] Do đó: \[ (x - y + z)^2 + (y - z)^2 + 2(x - y + z)(y - z) = (x - y + z + y - z)^2 = x^2 \] Biểu thức này luôn dương hoặc bằng 0, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 0, đạt được khi $x = 0$. Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$ Biểu thức này không phụ thuộc vào biến số, nên giá trị của nó là: \[ 3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) = 3 \times 5 \times 17 \times 257 \times 65537 \] Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $(a - b + c)^2 - (b - c)^2 + 2ab - 2ac$ Gọi $A = a - b + c$ và $B = b - c$. Biểu thức trở thành: \[ A^2 - B^2 + 2ab - 2ac \] Ta nhận thấy rằng: \[ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \] Do đó: \[ (a - b + c)^2 - (b - c)^2 + 2ab - 2ac = (a - b + c + b - c)(a - b + c - b + c) + 2ab - 2ac \] \[ = a(a - 2c) + 2ab - 2ac \] \[ = a^2 - 2ac + 2ab - 2ac \] \[ = a^2 + 2ab - 4ac \] Biểu thức này không thể hoàn chỉnh bình phương trực tiếp, nhưng ta có thể thấy rằng giá trị nhỏ nhất của nó phụ thuộc vào các giá trị của $a$, $b$, và $c$. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần xem xét các trường hợp cụ thể. Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) $x^2 + 10x + 27$ b) $x^2 - 12x + 37$ c) $x^2 + x + 7$ d) $x^2 - 3x + 5$ a) $x^2 + 10x + 27$ Hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 + 10x + 27 = (x + 5)^2 - 25 + 27 = (x + 5)^2 + 2 \] Giá trị nhỏ nhất của $(x + 5)^2$ là 0, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 2, đạt được khi $x = -5$. b) $x^2 - 12x + 37$ Hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 - 12x + 37 = (x - 6)^2 - 36 + 37 = (x - 6)^2 + 1 \] Giá trị nhỏ nhất của $(x - 6)^2$ là 0, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1, đạt được khi $x = 6$. c) $x^2 + x + 7$ Hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 + x + 7 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 7 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{27}{4} \] Giá trị nhỏ nhất của $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2$ là 0, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $\frac{27}{4}$, đạt được khi $x = -\frac{1}{2}$. d) $x^2 - 3x + 5$ Hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 - 3x + 5 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 5 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{11}{4} \] Giá trị nhỏ nhất của $\left(x - \frac{3}{2}\right)^2$ là 0, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $\frac{11}{4}$, đạt được khi $x = \frac{3}{2}$. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(x-y+z)^2 + (y-z)^2 + 2(x-y+z)(y-z)$ là 0, đạt được khi $x = 0$. - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$ là $3 \times 5 \times 17 \times 257 \times 65537$. - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(a - b + c)^2 - (b - c)^2 + 2ab - 2ac$ phụ thuộc vào các giá trị của $a$, $b$, và $c$. - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2 + 10x + 27$ là 2, đạt được khi $x = -5$. - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2 - 12x + 37$ là 1, đạt được khi $x = 6$. - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2 + x + 7$ là $\frac{27}{4}$, đạt được khi $x = -\frac{1}{2}$. - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2 - 3x + 5$ là $\frac{11}{4}$, đạt được khi $x = \frac{3}{2}$. Bài 3: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bài toán một cách chi tiết và cẩn thận. Dưới đây là lời giải cho từng bài toán: Bài 18: $(x-2)^2-(x-3)(x+3)=6$ 1. Mở rộng biểu thức: \[ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] \[ (x-3)(x+3) = x^2 - 9 \] 2. Thay vào phương trình: \[ x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 9) = 6 \] 3. Rút gọn: \[ x^2 - 4x + 4 - x^2 + 9 = 6 \] \[ -4x + 13 = 6 \] 4. Giải phương trình: \[ -4x = 6 - 13 \] \[ -4x = -7 \] \[ x = \frac{7}{4} \] Bài 19: $4(x-3)^2-(2x-1)(2x+1)=10$ 1. Mở rộng biểu thức: \[ 4(x-3)^2 = 4(x^2 - 6x + 9) = 4x^2 - 24x + 36 \] \[ (2x-1)(2x+1) = 4x^2 - 1 \] 2. Thay vào phương trình: \[ 4x^2 - 24x + 36 - (4x^2 - 1) = 10 \] 3. Rút gọn: \[ 4x^2 - 24x + 36 - 4x^2 + 1 = 10 \] \[ -24x + 37 = 10 \] 4. Giải phương trình: \[ -24x = 10 - 37 \] \[ -24x = -27 \] \[ x = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \] Bài 20: $(x-4)^2-(x-2)(x+2)=6$ 1. Mở rộng biểu thức: \[ (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16 \] \[ (x-2)(x+2) = x^2 - 4 \] 2. Thay vào phương trình: \[ x^2 - 8x + 16 - (x^2 - 4) = 6 \] 3. Rút gọn: \[ x^2 - 8x + 16 - x^2 + 4 = 6 \] \[ -8x + 20 = 6 \] 4. Giải phương trình: \[ -8x = 6 - 20 \] \[ -8x = -14 \] \[ x = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \] Bài 21: $9(x+1)^2-(3x-2)(3x+2)=10$ 1. Mở rộng biểu thức: \[ 9(x+1)^2 = 9(x^2 + 2x + 1) = 9x^2 + 18x + 9 \] \[ (3x-2)(3x+2) = 9x^2 - 4 \] 2. Thay vào phương trình: \[ 9x^2 + 18x + 9 - (9x^2 - 4) = 10 \] 3. Rút gọn: \[ 9x^2 + 18x + 9 - 9x^2 + 4 = 10 \] \[ 18x + 13 = 10 \] 4. Giải phương trình: \[ 18x = 10 - 13 \] \[ 18x = -3 \] \[ x = -\frac{3}{18} = -\frac{1}{6} \] Bài 22: $4(x+1)^2+(2x-1)^2-8(x-1)(x+1)=11$ 1. Mở rộng biểu thức: \[ 4(x+1)^2 = 4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4 \] \[ (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \] \[ 8(x-1)(x+1) = 8(x^2 - 1) = 8x^2 - 8 \] 2. Thay vào phương trình: \[ 4x^2 + 8x + 4 + 4x^2 - 4x + 1 - (8x^2 - 8) = 11 \] 3. Rút gọn: \[ 4x^2 + 8x + 4 + 4x^2 - 4x + 1 - 8x^2 + 8 = 11 \] \[ 4x + 13 = 11 \] 4. Giải phương trình: \[ 4x = 11 - 13 \] \[ 4x = -2 \] \[ x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \] Kết luận: - Bài 18: $x = \frac{7}{4}$ - Bài 19: $x = \frac{9}{8}$ - Bài 20: $x = \frac{7}{4}$ - Bài 21: $x = -\frac{1}{6}$ - Bài 22: $x = -\frac{1}{2}$ Đáp số: - $x = \frac{7}{4}$ (Bài 18) - $x = \frac{9}{8}$ (Bài 19) - $x = \frac{7}{4}$ (Bài 20) - $x = -\frac{1}{6}$ (Bài 21) - $x = -\frac{1}{2}$ (Bài 22)