Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f(x) = e ^ x là: A. (e ^ (x + 1))/(x + 1) + C B. e ^ x + C C. (e ^ x)/x + C D. x * e ^ (x - 1) + C Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên coạn [a; b] Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x = a x = b Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: A. V = pi * integrate |f(x)| dx from a to b C. V = pi ^ 2 * integrate [f(x)] ^ 2 dx from a to b B. V = pi ^ 2 * integrate f(x) dx from a to b D. V = pi * integrate [f(x)] ^ 2 dx from a to b Câu 3: Hai mẫu số liệu ghép nhóm M_{1} M_{2} có bảng tần số ghép nhóm như sau: Nhóm [8;10) [10; 12) [12;14) [14;16) [16;18) Tần số 3 4 8 6 4 Nhóm [8;10) [10;12) [12;14) [14;16) [16;18) Tần số 6 8 16 12 8 Gọi lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm M_{v} M_{2} Phát biểu nào sau đây là đúng? s_{1} s_{2} A. s_{1} = s_{2} B. s_{1} = 2s_{2} C. 2s_{1} = s_{2} D. 4s_{1} = s_{2} Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(1; - 3; 5) và có một vectơ chỉ phương vec u(2; - 1; 1) là: C. (x - 1)/2 = (y + 3)/- 1 = (z - 5)/1 D (x + 1)/2 = (y + 3)/- 1 = (z - 5)/1 (x - 1)/2 = (y - 3)/- 1 = (z + 5)/1 (x - 1)/2 = (y - 3)/- 1 = (z - 5)/1 Câu 5: Cho hàm số là: y= (ax + b)/(cx + d) (c ne0,ad-bc ne0) có đồ thị như hình về bên. Tiêm cân ngang của đồ thị hàm s 1/2 -1 1 - 1/2 A. x = - 1 B. nu = 1/2 C. y = - 1 x = 1/2 Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình log_2(x - 1) 0) , trong đó 1 là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. a) Quâng đường ô tỏ đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m. b) Giá trị của b là 10. c) Quãng đường S (t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian 1 giây (0

Question

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f(x) = e ^ x là: A. (e ^ (x + 1))/(x + 1) + C B. e ^ x + C C. (e ^ x)/x + C D. x * e ^ (x - 1) + C Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên coạn [a; b] Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x = a x = b Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: A. V = pi * integrate |f(x)| dx from a to b C. V = pi ^ 2 * integrate [f(x)] ^ 2 dx from a to b B. V = pi ^ 2 * integrate f(x) dx from a to b D. V = pi * integrate [f(x)] ^ 2 dx from a to b Câu 3: Hai mẫu số liệu ghép nhóm M_{1} M_{2} có bảng tần số ghép nhóm như sau: Nhóm [8;10) [10; 12) [12;14) [14;16) [16;18) Tần số 3 4 8 6 4 Nhóm [8;10) [10;12) [12;14) [14;16) [16;18) Tần số 6 8 16 12 8 Gọi lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm M_{v} M_{2} Phát biểu nào sau đây là đúng? s_{1} s_{2} A. s_{1} = s_{2} B. s_{1} = 2s_{2} C. 2s_{1} = s_{2} D. 4s_{1} = s_{2} Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(1; - 3; 5) và có một vectơ chỉ phương vec u(2; - 1; 1) là: C. (x - 1)/2 = (y + 3)/- 1 = (z - 5)/1 D (x + 1)/2 = (y + 3)/- 1 = (z - 5)/1 (x - 1)/2 = (y - 3)/- 1 = (z + 5)/1 (x - 1)/2 = (y - 3)/- 1 = (z - 5)/1 Câu 5: Cho hàm số là: y= (ax + b)/(cx + d) (c ne0,ad-bc ne0) có đồ thị như hình về bên. Tiêm cân ngang của đồ thị hàm s 1/2 -1 1 - 1/2 A. x = - 1 B. nu = 1/2 C. y = - 1 x = 1/2 Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình log_2(x - 1) < 3 là: A. (1;9). Β. (- ∞; 9) C. (9; ∞) D. (l; 7) Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x - 3y - z + 8 = 0 Vecto nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? Α. vec n_{i}(l; - 3; 1) . B. vec n_{2}(l; - 3; - l) . C. vec n_{3}(l; - 3; 8) . D. overline n_{4}(1; 3; 8) . Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và S A perp(ABCD) Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (ABCD)? A. (SAB). B. (SBC). C. (SCD). D. (SBD). Câu 9: Nghiệm của phương trình 2 ^ x = 6 là: A. x = log_6(2) B. x = 3 C. x = 4 D. x = log_2(6) Câu 10: Cấp số cộng (u_{n}) có và Số hạng u, của cấp số cộng là: u_{1} = 1 u_{2} = 3 A. 5. B. 7. C. 9. D. 11. Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'(minh họa nhu hình bên). Phát biểu nào sau đây là đúng? A. overline AB + overline BB^ prime + overline B' * A' = overline AC^ prime C. vec AB + vec AC + vec A * A' = vec AC^ prime B. overline AB + overline BC^ prime + vec C' * D' = overline AC^ prime D. vec AB + vec A * A' + vec AD = vec AC^ prime . Câu 12: Cho hảm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây Α. (- ∞; - 1) . Β. (- ∞; 1) 2 C. (-1;1). D. (l; ∞) . PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai (4,0 điểm). Câu 1: Cho hàm số f(x) = 2cos x + x . a) f(0) = 2; f(pi/2) = pi/2 b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f'(x)-2sinx+1. c) Nghiệm của phương trình f' * (x) = 0 trên đoạn 0; pi/2 ] là d) Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; pi/2] là sqrt(3) + pi/6 pi/6 Câu 2: Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là 36 km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ v(t) = at + b(a, b \in R, a > 0) , trong đó 1 là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. a) Quâng đường ô tỏ đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m. b) Giá trị của b là 10. c) Quãng đường S (t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian 1 giây (0 <= t <= 24) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức S(t) = integrate v(t) dt from 0 to 24 d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h. Câu 3: Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phầm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời "sẽ mua"; có 95 người trả lời "không mua". Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ưng với những cách trả lời "sẽ mua" và "không mua" lần lượt là 70% và 30%. Gọi A là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự se mua sản phẩm". Gọi B là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm". a) Xác suất P(B) = 21/40 và P 6 overline B*gamma = 19/40 b) Xác suất có điều kiện P( A |B)=0,3 . c) Xác suất P(A) = 0, 51 d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có 70% người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 4: Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gáy nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo đõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao khồng vượt quả 6600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc O tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm M (6;20;0) đến điểm N(- 6; - 12; 16) . M A B N 6. 400 km 0.600 km. a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là x=6+3t\ y = 20 + 8t ,(t in R).\ z=-4t b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dỡi của hệ thống quan sát lả điểm A(- 3; - 4; 12) . c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trỉ cuối cùng mả thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút. PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 (3,0 điểm). Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 5 , BC = 5 , CA = 7 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Câu 2: Một trò chơi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ A, B, C, D với số lượng các thử thách trến đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trử lại trụ đó đưự nữa, nhung người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường di thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? Câu 3: Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tỉnh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tỉnh lần lượt đặt tại các điểm A(3; 1; 0) (3; 6; 6) , C(4; 6; 2) , D(6; 2; 14) ; vị trí M(a; b; c) thỏa mãn MA = 3 MB = 6 MC = 5 MD = 13 . Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao nhiêu? Câu 4: Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông? 20w 20m Câu 5: Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (l <= x <= 500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là F(x) = x ^ 3 - 1999x ^ 2 + 1001000x + 250000 (dồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là G(x) = x + 1000 + 250000/x nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (đồng). Doanh Câu 6: Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hảng phần trăm).

Accepted Answer

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số $ f(x) = e^x $ là: A. $ \frac{e^{(x + 1)}}{(x + 1)} + C $ B. $ e^x + C $ C. $ \frac{e^x}{x} + C $ D. $ x \cdot e^{(x - 1)} + C $ Ta sẽ kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: $ \frac{e^{(x + 1)}}{(x + 1)} + C $ Ta thấy rằng đạo hàm của $ \frac{e^{(x + 1)}}{(x + 1)} $ không phải là $ e^x $. - Đáp án B: $ e^x + C $ Ta thấy rằng đạo hàm của $ e^x $ là $ e^x $. Do đó, nguyên hàm của $ e^x $ đúng là $ e^x + C $. - Đáp án C: $ \frac{e^x}{x} + C $ Ta thấy rằng đạo hàm của $ \frac{e^x}{x} $ không phải là $ e^x $. - Đáp án D: $ x \cdot e^{(x - 1)} + C $ Ta thấy rằng đạo hàm của $ x \cdot e^{(x - 1)} $ không phải là $ e^x $. Vậy, nguyên hàm của hàm số $ f(x) = e^x $ là $ e^x + C $. Đáp án đúng là: B. $ e^x + C $ Câu 2: Khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b quanh trục Ox, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: $$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$ Lý do: - Khi quay một dải mỏng rộng dx quanh trục Ox, ta sẽ tạo thành một hình trụ mỏng với diện tích đáy là $\pi [f(x)]^2$ và chiều cao là dx. - Thể tích của hình trụ mỏng này là $\pi [f(x)]^2 \, dx$. - Để tìm thể tích tổng của khối tròn xoay, ta tích phân thể tích của tất cả các hình trụ mỏng này từ a đến b. Do đó, đáp án đúng là: D. $ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $ Đáp án: D. $ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $ Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_1$ và $M_2$. Độ lệch chuẩn là một đại lượng thống kê mô tả mức độ phân tán của các giá trị trong một tập dữ liệu so với trung bình của nó. Bước 1: Tính trung bình của mỗi mẫu số liệu. Trung bình của $M_1$: $$ \bar{x}_1 = \frac{(9 \times 3) + (11 \times 4) + (13 \times 8) + (15 \times 6) + (17 \times 4)}{3 + 4 + 8 + 6 + 4} = \frac{27 + 44 + 104 + 90 + 68}{25} = \frac{333}{25} = 13.32 $$ Trung bình của $M_2$: $$ \bar{x}_2 = \frac{(9 \times 6) + (11 \times 8) + (13 \times 16) + (15 \times 12) + (17 \times 8)}{6 + 8 + 16 + 12 + 8} = \frac{54 + 88 + 208 + 180 + 136}{50} = \frac{666}{50} = 13.32 $$ Bước 2: Tính phương sai của mỗi mẫu số liệu. Phương sai của $M_1$: $$ s_1^2 = \frac{(9 - 13.32)^2 \times 3 + (11 - 13.32)^2 \times 4 + (13 - 13.32)^2 \times 8 + (15 - 13.32)^2 \times 6 + (17 - 13.32)^2 \times 4}{25} $$ $$ = \frac{(-4.32)^2 \times 3 + (-2.32)^2 \times 4 + (-0.32)^2 \times 8 + (1.68)^2 \times 6 + (3.68)^2 \times 4}{25} $$ $$ = \frac{57.9648 + 21.5296 + 0.8192 + 16.8576 + 54.0608}{25} $$ $$ = \frac{151.2216}{25} = 6.048864 $$ Phương sai của $M_2$: $$ s_2^2 = \frac{(9 - 13.32)^2 \times 6 + (11 - 13.32)^2 \times 8 + (13 - 13.32)^2 \times 16 + (15 - 13.32)^2 \times 12 + (17 - 13.32)^2 \times 8}{50} $$ $$ = \frac{(-4.32)^2 \times 6 + (-2.32)^2 \times 8 + (-0.32)^2 \times 16 + (1.68)^2 \times 12 + (3.68)^2 \times 8}{50} $$ $$ = \frac{115.9296 + 43.0592 + 1.6384 + 33.7152 + 108.1216}{50} $$ $$ = \frac{302.464}{50} = 6.04928 $$ Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu. Độ lệch chuẩn của $M_1$: $$ s_1 = \sqrt{6.048864} \approx 2.46 $$ Độ lệch chuẩn của $M_2$: $$ s_2 = \sqrt{6.04928} \approx 2.46 $$ Như vậy, ta thấy rằng: $$ s_1 = s_2 $$ Do đó, phát biểu đúng là: A. $ s_1 = s_2 $ Đáp án: A. $ s_1 = s_2 $ Câu 4: Để viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M(1; -3; 5)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u}(2; -1; 1)$, ta sử dụng công thức chung của phương trình đường thẳng trong không gian: $$ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} $$ Trong đó: - $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$, - $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ chỉ phương $\vec{u}$. Thay tọa độ của điểm $M$ và các thành phần của vectơ chỉ phương $\vec{u}$ vào công thức trên, ta có: $$ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 5}{1} $$ Do đó, phương trình của đường thẳng là: $$ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 5}{1} $$ Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 5}{1}$ Đáp số: C. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 5}{1}$ Câu 5: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $ y = \frac{ax + b}{cx + d} $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi $ x $ tiến đến vô cùng: $$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax + b}{cx + d} $$ 2. Chia cả tử và mẫu cho $ x $: $$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a + \frac{b}{x}}{c + \frac{d}{x}} $$ 3. Khi $ x $ tiến đến vô cùng, các phân số $\frac{b}{x}$ và $\frac{d}{x}$ sẽ tiến đến 0: $$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a + 0}{c + 0} = \frac{a}{c} $$ Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $ y = \frac{ax + b}{cx + d} $ là: $$ y = \frac{a}{c} $$ Theo đề bài, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $ y = \frac{1}{2} $. Do đó: $$ \frac{a}{c} = \frac{1}{2} $$ Vậy đáp án đúng là: $$ y = \frac{1}{2} $$ Đáp án: B. $ y = \frac{1}{2} $ Câu 6: Để giải bất phương trình $\log_2(x - 1) < 3$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng đối số của hàm logarit dương: $$ x - 1 > 0 \implies x > 1 $$ 2. Giải bất phương trình logarit: Bất phương trình $\log_2(x - 1) < 3$ có thể được viết lại dưới dạng: $$ \log_2(x - 1) < \log_2(2^3) $$ Vì hàm logarit cơ số 2 là hàm đồng biến, nên ta có: $$ x - 1 < 2^3 \implies x - 1 < 8 \implies x < 9 $$ 3. Tìm tập nghiệm: Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bước 2, ta có: $$ 1 < x < 9 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $$ (1; 9) $$ Đáp án đúng là: A. (1; 9) Câu 7: Phương trình mặt phẳng (P) là: x - 3y - z + 8 = 0 Ta thấy rằng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng đó. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: vec n = (1; -3; -1) Trong các lựa chọn đã cho, vectơ này chính là: B. vec n_{2}(1; -3; -1) Vậy đáp án đúng là: B. vec n_{2}(1; -3; -1) Câu 8: Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Điều này có nghĩa là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Bây giờ, ta xét từng mặt phẳng: A. Mặt phẳng (SAB): - SA nằm trong mặt phẳng (SAB) và vuông góc với (ABCD). - AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) và cũng nằm trong mặt phẳng (SAB). - Vì SA vuông góc với (ABCD) và AB nằm trong (ABCD), nên (SAB) vuông góc với (ABCD). B. Mặt phẳng (SBC): - SB nằm trong mặt phẳng (SBC) và không vuông góc trực tiếp với (ABCD). - BC nằm trong mặt phẳng (ABCD) và cũng nằm trong mặt phẳng (SBC). - Do đó, (SBC) không chắc chắn vuông góc với (ABCD). C. Mặt phẳng (SCD): - SC nằm trong mặt phẳng (SCD) và không vuông góc trực tiếp với (ABCD). - CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và cũng nằm trong mặt phẳng (SCD). - Do đó, (SCD) không chắc chắn vuông góc với (ABCD). D. Mặt phẳng (SBD): - SD nằm trong mặt phẳng (SBD) và không vuông góc trực tiếp với (ABCD). - BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và cũng nằm trong mặt phẳng (SBD). - Do đó, (SBD) không chắc chắn vuông góc với (ABCD). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có mặt phẳng (SAB) là chắc chắn vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Vậy đáp án đúng là: A. (SAB). Câu 9: Để giải phương trình $2^x = 6$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chuyển về cùng cơ số hoặc sử dụng tính chất của lôgarit. Bước 1: Xác định phương pháp giải. Phương trình $2^x = 6$ không thể giải trực tiếp bằng cách chuyển về cùng cơ số vì 6 không phải là lũy thừa của 2. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng lôgarit để giải phương trình này. Bước 2: Áp dụng lôgarit vào cả hai vế của phương trình. Lấy lôgarit cơ số 2 của cả hai vế: $$ \log_2(2^x) = \log_2(6) $$ Bước 3: Sử dụng tính chất của lôgarit. Theo tính chất của lôgarit, $\log_a(a^b) = b$, ta có: $$ x = \log_2(6) $$ Vậy nghiệm của phương trình $2^x = 6$ là $x = \log_2(6)$. Đáp án đúng là: D. x = $\log_2(6)$. Câu 10: Để tìm số hạng $ u_n $ của cấp số cộng, ta cần biết công thức tổng quát của số hạng thứ $ n $ trong cấp số cộng. Công thức này là: $$ u_n = u_1 + (n-1)d $$ Trong đó: - $ u_1 $ là số hạng đầu tiên, - $ d $ là công sai, - $ n $ là số thứ tự của số hạng. Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên $ u_1 $ và công sai $ d $. Theo đề bài, $ u_1 = 1 $. Ta cũng biết rằng $ u_2 = 3 $. Công sai $ d $ được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng đầu tiên: $$ d = u_2 - u_1 = 3 - 1 = 2 $$ Bước 2: Áp dụng công thức để tìm số hạng $ u_n $. Giả sử ta muốn tìm số hạng thứ 3 ($ u_3 $): $$ u_3 = u_1 + (3-1)d = 1 + 2 \times 2 = 1 + 4 = 5 $$ Giả sử ta muốn tìm số hạng thứ 4 ($ u_4 $): $$ u_4 = u_1 + (4-1)d = 1 + 3 \times 2 = 1 + 6 = 7 $$ Giả sử ta muốn tìm số hạng thứ 5 ($ u_5 $): $$ u_5 = u_1 + (5-1)d = 1 + 4 \times 2 = 1 + 8 = 9 $$ Giả sử ta muốn tìm số hạng thứ 6 ($ u_6 $): $$ u_6 = u_1 + (6-1)d = 1 + 5 \times 2 = 1 + 10 = 11 $$ Như vậy, các số hạng tiếp theo của cấp số cộng là 5, 7, 9, 11, ... Do đó, các đáp án đúng là: A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 Đáp số: A. 5, B. 7, C. 9, D. 11 Câu 11: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu nào là đúng. A. $\overline{AB} + \overline{BB'} + \overline{B'A'} = \overline{AC'}$ - $\overline{AB}$ là đoạn thẳng từ A đến B. - $\overline{BB'}$ là đoạn thẳng từ B đến B'. - $\overline{B'A'}$ là đoạn thẳng từ B' đến A'. Ta thấy rằng $\overline{AB} + \overline{BB'} + \overline{B'A'}$ không tạo thành đoạn thẳng từ A đến C', vì nó không theo đường thẳng từ A đến C'. Do đó, phát biểu này là sai. B. $\overline{AB} + \overline{BC'} + \vec{C'D'} = \overline{AC'}$ - $\overline{AB}$ là đoạn thẳng từ A đến B. - $\overline{BC'}$ là đoạn thẳng từ B đến C'. - $\vec{C'D'}$ là vectơ từ C' đến D'. Ta thấy rằng $\overline{AB} + \overline{BC'} + \vec{C'D'}$ không tạo thành đoạn thẳng từ A đến C', vì nó không theo đường thẳng từ A đến C'. Do đó, phát biểu này là sai. C. $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$ - $\vec{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\vec{AC}$ là vectơ từ A đến C. - $\vec{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. Ta thấy rằng $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA'}$ không tạo thành vectơ từ A đến C', vì nó không theo đường thẳng từ A đến C'. Do đó, phát biểu này là sai. D. $\vec{AB} + \vec{AA'} + \vec{AD} = \vec{AC'}$ - $\vec{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\vec{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. - $\vec{AD}$ là vectơ từ A đến D. Ta thấy rằng $\vec{AB} + \vec{AA'} + \vec{AD}$ tạo thành vectơ từ A đến C', vì nó theo đường thẳng từ A đến C'. Do đó, phát biểu này là đúng. Vậy phát biểu đúng là: D. $\vec{AB} + \vec{AA'} + \vec{AD} = \vec{AC'}$ Câu 12: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số từ đồ thị, ta cần quan sát hướng của đồ thị từ trái sang phải. Nếu đồ thị đi lên (từ dưới lên trên), hàm số đồng biến trên khoảng đó. Dựa vào đồ thị: - Từ $-\infty$ đến $-1$, đồ thị đi xuống, tức là hàm số nghịch biến. - Từ $-1$ đến $1$, đồ thị đi lên, tức là hàm số đồng biến. - Từ $1$ đến $\infty$, đồ thị đi xuống, tức là hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$. Đáp án đúng là: C. (-1;1). Câu 1: a) f(0) = 2cos(0) + 0 = 2 f(π/2) = 2cos(π/2) + π/2 = 0 + π/2 = π/2 b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: f'(x) = -2sin(x) + 1 c) Để tìm nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn [0; π/2], ta giải phương trình: -2sin(x) + 1 = 0 2sin(x) = 1 sin(x) = 1/2 Trên đoạn [0; π/2], nghiệm của phương trình này là: x = π/6 d) Để tìm giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; π/2], ta xét các giá trị của f(x) tại các điểm biên và điểm cực trị: f(0) = 2 f(π/2) = π/2 f(π/6) = 2cos(π/6) + π/6 = 2 × (√3/2) + π/6 = √3 + π/6 So sánh các giá trị: f(0) = 2 ≈ 2 f(π/2) = π/2 ≈ 1.57 f(π/6) = √3 + π/6 ≈ 1.73 + 0.52 ≈ 2.25 Vậy giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; π/2] là √3 + π/6, đạt được khi x = π/6. Đáp số: a) f(0) = 2; f(π/2) = π/2 b) f'(x) = -2sin(x) + 1 c) Nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn [0; π/2] là x = π/6 d) Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; π/2] là √3 + π/6, đạt được khi x = π/6. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m. 1. Tìm vận tốc ban đầu của ô tô: - Ban đầu, ô tô có tốc độ là 36 km/h. - Đổi đơn vị: 36 km/h = 36 × $\frac{1000}{3600}$ m/s = 10 m/s. 2. Tính quãng đường ô tô đi được trong 2 giây trước khi bắt đầu tăng tốc: - Quãng đường = vận tốc × thời gian = 10 m/s × 2 s = 20 m. 3. Quãng đường còn lại để nhập làn: - Tổng quãng đường từ điểm bắt đầu tăng tốc đến điểm nhập làn là 200 m - 20 m = 180 m. Phần b) Giá trị của b là 10. 1. Biểu thức vận tốc v(t) = at + b: - Tại t = 0, v(0) = b. - Ban đầu, vận tốc của ô tô là 10 m/s, do đó b = 10. Phần c) Quãng đường S(t) mà ô tô đi được trong thời gian t giây (0 ≤ t ≤ 24) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức S(t) = ∫v(t) dt từ 0 đến t. 1. Tính quãng đường S(t): - v(t) = at + 10. - S(t) = ∫(at + 10) dt từ 0 đến t. - S(t) = [ $\frac{a}{2}t^2$ + 10t ] từ 0 đến t. - S(t) = $\frac{a}{2}t^2$ + 10t. Phần d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h. 1. Tính vận tốc sau 24 giây: - v(24) = a × 24 + 10. - Đổi đơn vị tốc độ tối đa cho phép: 100 km/h = 100 × $\frac{1000}{3600}$ m/s ≈ 27.78 m/s. - Do đó, a × 24 + 10 ≤ 27.78. - a × 24 ≤ 17.78. - a ≤ $\frac{17.78}{24}$ ≈ 0.74 m/s². Kết luận: - Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m. - Giá trị của b là 10. - Quãng đường S(t) mà ô tô đi được trong thời gian t giây (0 ≤ t ≤ 24) kể từ khi tăng tốc là S(t) = $\frac{a}{2}t^2$ + 10t. - Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h, với điều kiện a ≤ 0.74 m/s². Câu 3: a) Xác suất P(B) = 21/40 và P 6 overline Bgamma = 19/40 - Số người trả lời "sẽ mua" là 105 người, chiếm 105/200 = 21/40 tổng số người được phỏng vấn. - Số người trả lời "không mua" là 95 người, chiếm 95/200 = 19/40 tổng số người được phỏng vấn. b) Xác suất có điều kiện P(A|B) = 0,3 - Trong số những người trả lời "sẽ mua", có 70% thực sự sẽ mua sản phẩm. Do đó, xác suất có điều kiện P(A|B) = 0,7. c) Xác suất P(A) = 0,51 - Xác suất P(A) là xác suất tổng thể của biến cố "Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm". - Ta có: - Số người trả lời "sẽ mua" và thực sự sẽ mua sản phẩm là 105 0,7 = 73,5 người. - Số người trả lời "không mua" nhưng thực sự sẽ mua sản phẩm là 95 0,3 = 28,5 người. - Tổng số người thực sự sẽ mua sản phẩm là 73,5 + 28,5 = 102 người. - Xác suất P(A) = 102/200 = 0,51. d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có 70% người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị). - Số người thực sự sẽ mua sản phẩm là 102 người. - Số người thực sự sẽ mua sản phẩm và đã trả lời "sẽ mua" là 73,5 người. - Tỉ lệ phần trăm người thực sự sẽ mua sản phẩm và đã trả lời "sẽ mua" là (73,5 / 102) 100 ≈ 72%. Đáp số: a) P(B) = 21/40 và P(overline{B}) = 19/40 b) P(A|B) = 0,7 c) P(A) = 0,51 d) 72% Câu 4: a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là: $$ \begin{cases} x = 6 + 3t \ y = 20 + 8t \ z = -4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}. $$ b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A(-3; -4; 12). c) Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút. Lập luận từng bước: 1. Đường thẳng MN có phương trình tham số là: $$ \begin{cases} x = 6 + 3t \ y = 20 + 8t \ z = -4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}. $$ Đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(6; 20; 0) và N(-6; -12; 16). 2. Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A(-3; -4; 12). Điểm A nằm trên đường thẳng MN và nằm trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát (ở độ cao không vượt quá 6600 km so với mực nước biển). 3. Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900 km. Khoảng cách này được tính dựa trên phương trình tham số của đường thẳng MN và các điều kiện theo dõi của hệ thống quan sát. 4. Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì thời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút. Thời gian di chuyển từ M đến N là gấp đôi thời gian di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát vì thiên thạch di chuyển với tốc độ không đổi. Đáp số: a) Phương trình tham số của đường thẳng MN là: $$ \begin{cases} x = 6 + 3t \ y = 20 + 8t \ z = -4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}. $$ b) Điểm A(-3; -4; 12). c) Khoảng cách là 18900 km. d) Thời gian di chuyển từ M đến N là 6 phút. Câu 1: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC trong hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC. - Bán kính nửa chu vi $ p $ của tam giác ABC: $$ p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{5 + 5 + 7}{2} = 8.5 $$ - Diện tích $ S_{ABC} $ của tam giác ABC: $$ S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \sqrt{8.5(8.5-5)(8.5-5)(8.5-7)} $$ $$ S_{ABC} = \sqrt{8.5 \times 3.5 \times 3.5 \times 1.5} $$ $$ S_{ABC} = \sqrt{150.9375} \approx 12.28 $$ 2. Tính chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC: - Chiều cao $ h_A $ hạ từ đỉnh A xuống đáy BC: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h_A $$ $$ 12.28 = \frac{1}{2} \times 5 \times h_A $$ $$ h_A = \frac{2 \times 12.28}{5} = 4.912 $$ 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC: - Vì AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên khoảng cách giữa AA' và BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. - Khoảng cách này đã được tính ở trên là $ h_A $. Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC là: $$ h_A \approx 4.9 $$ Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC là 4.9 (đơn vị). Câu 2: Để tìm tổng số thử thách nhỏ nhất, ta cần tìm đường đi từ một trụ bất kỳ đến tất cả các trụ còn lại rồi trở về trụ ban đầu sao cho tổng số thử thách là nhỏ nhất. Giả sử ta xuất phát từ trụ A. Ta sẽ lần lượt đi qua các trụ B, C, D rồi trở về trụ A. Ta có các đoạn đường và số thử thách tương ứng: - Từ A đến B: 10 thử thách - Từ B đến C: 15 thử thách - Từ C đến D: 20 thử thách - Từ D trở về A: 25 thử thách Tổng số thử thách khi đi theo đường này là: $$ 10 + 15 + 20 + 25 = 70 $$ Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các trường hợp khác để đảm bảo rằng đây là đường đi có tổng số thử thách nhỏ nhất. 1. Xuất phát từ A, đi qua B, D, C rồi trở về A: - Từ A đến B: 10 thử thách - Từ B đến D: 30 thử thách - Từ D đến C: 20 thử thách - Từ C trở về A: 15 thử thách Tổng số thử thách: $$ 10 + 30 + 20 + 15 = 75 $$ 2. Xuất phát từ A, đi qua C, B, D rồi trở về A: - Từ A đến C: 15 thử thách - Từ C đến B: 15 thử thách - Từ B đến D: 30 thử thách - Từ D trở về A: 25 thử thách Tổng số thử thách: $$ 15 + 15 + 30 + 25 = 85 $$ 3. Xuất phát từ A, đi qua C, D, B rồi trở về A: - Từ A đến C: 15 thử thách - Từ C đến D: 20 thử thách - Từ D đến B: 30 thử thách - Từ B trở về A: 10 thử thách Tổng số thử thách: $$ 15 + 20 + 30 + 10 = 75 $$ 4. Xuất phát từ A, đi qua D, B, C rồi trở về A: - Từ A đến D: 25 thử thách - Từ D đến B: 30 thử thách - Từ B đến C: 15 thử thách - Từ C trở về A: 15 thử thách Tổng số thử thách: $$ 25 + 30 + 15 + 15 = 85 $$ 5. Xuất phát từ A, đi qua D, C, B rồi trở về A: - Từ A đến D: 25 thử thách - Từ D đến C: 20 thử thách - Từ C đến B: 15 thử thách - Từ B trở về A: 10 thử thách Tổng số thử thách: $$ 25 + 20 + 15 + 10 = 70 $$ Qua các trường hợp trên, ta thấy rằng đường đi từ A đến B, C, D rồi trở về A hoặc từ A đến D, C, B rồi trở về A đều có tổng số thử thách nhỏ nhất là 70. Vậy tổng số thử thách của đường đi thỏa mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là 70. Câu 3: Để xác định vị trí của điểm M(a; b; c) trong không gian, ta cần sử dụng các điều kiện về khoảng cách từ M đến các vệ tinh A, B, C, D. Ta sẽ áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian để lập phương trình. 1. Tính khoảng cách MA: $$ MA = \sqrt{(a - 3)^2 + (b - 1)^2 + c^2} = 3 $$ $$ (a - 3)^2 + (b - 1)^2 + c^2 = 9 \quad \text{(1)} $$ 2. Tính khoảng cách MB: $$ MB = \sqrt{(a - 3)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2} = 6 $$ $$ (a - 3)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2 = 36 \quad \text{(2)} $$ 3. Tính khoảng cách MC: $$ MC = \sqrt{(a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2} = 5 $$ $$ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 = 25 \quad \text{(3)} $$ 4. Tính khoảng cách MD: $$ MD = \sqrt{(a - 6)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2} = 13 $$ $$ (a - 6)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 = 169 \quad \text{(4)} $$ Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm giá trị của a, b và c. Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1): $$ (a - 3)^2 + (b - 1)^2 + c^2 = 9 \quad \text{(1)} $$ Từ phương trình (2): $$ (a - 3)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2 = 36 \quad \text{(2)} $$ Từ phương trình (3): $$ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 = 25 \quad \text{(3)} $$ Từ phương trình (4): $$ (a - 6)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 = 169 \quad \text{(4)} $$ Ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (2): $$ (b - 6)^2 + (c - 6)^2 - (b - 1)^2 - c^2 = 27 $$ $$ (b - 6)^2 - (b - 1)^2 + (c - 6)^2 - c^2 = 27 $$ $$ (b^2 - 12b + 36) - (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 12c + 36) - c^2 = 27 $$ $$ -10b + 35 - 12c + 36 = 27 $$ $$ -10b - 12c + 71 = 27 $$ $$ -10b - 12c = -44 $$ $$ 5b + 6c = 22 \quad \text{(5)} $$ Tiếp theo, ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (3): $$ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 - (a - 3)^2 - (b - 1)^2 - c^2 = 16 $$ $$ (a^2 - 8a + 16) + (b^2 - 12b + 36) + (c^2 - 4c + 4) - (a^2 - 6a + 9) - (b^2 - 2b + 1) - c^2 = 16 $$ $$ -2a + 7 + 10b - 12c + 4 = 16 $$ $$ -2a + 10b - 12c + 11 = 16 $$ $$ -2a + 10b - 12c = 5 \quad \text{(6)} $$ Cuối cùng, ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (4): $$ (a - 6)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 - (a - 3)^2 - (b - 1)^2 - c^2 = 160 $$ $$ (a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 4b + 4) + (c^2 - 28c + 196) - (a^2 - 6a + 9) - (b^2 - 2b + 1) - c^2 = 160 $$ $$ -6a + 27 + 2b - 28c + 196 = 160 $$ $$ -6a + 2b - 28c + 223 = 160 $$ $$ -6a + 2b - 28c = -63 \quad \text{(7)} $$ Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình (5), (6), và (7) để tìm a, b, và c. Từ phương trình (5): $$ 5b + 6c = 22 \quad \text{(5)} $$ Từ phương trình (6): $$ -2a + 10b - 12c = 5 \quad \text{(6)} $$ Từ phương trình (7): $$ -6a + 2b - 28c = -63 \quad \text{(7)} $$ Ta sẽ nhân phương trình (6) với 3: $$ -6a + 30b - 36c = 15 \quad \text{(8)} $$ Trừ phương trình (7) từ phương trình (8): $$ (-6a + 30b - 36c) - (-6a + 2b - 28c) = 15 - (-63) $$ $$ 28b - 8c = 78 $$ $$ 14b - 4c = 39 \quad \text{(9)} $$ Từ phương trình (5): $$ 5b + 6c = 22 \quad \text{(5)} $$ Nhân phương trình (5) với 2: $$ 10b + 12c = 44 \quad \text{(10)} $$ Nhân phương trình (9) với 3: $$ 42b - 12c = 117 \quad \text{(11)} $$ Cộng phương trình (10) và (11): $$ 52b = 161 $$ $$ b = \frac{161}{52} $$ Thay $ b = \frac{161}{52} $ vào phương trình (5): $$ 5 \left( \frac{161}{52} \right) + 6c = 22 $$ $$ \frac{805}{52} + 6c = 22 $$ $$ 6c = 22 - \frac{805}{52} $$ $$ 6c = \frac{1144 - 805}{52} $$ $$ 6c = \frac{339}{52} $$ $$ c = \frac{339}{312} $$ $$ c = \frac{113}{104} $$ Thay $ b = \frac{161}{52} $ và $ c = \frac{113}{104} $ vào phương trình (6): $$ -2a + 10 \left( \frac{161}{52} \right) - 12 \left( \frac{113}{104} \right) = 5 $$ $$ -2a + \frac{1610}{52} - \frac{1356}{104} = 5 $$ $$ -2a + \frac{1610}{52} - \frac{678}{52} = 5 $$ $$ -2a + \frac{932}{52} = 5 $$ $$ -2a + \frac{466}{26} = 5 $$ $$ -2a + 18 = 5 $$ $$ -2a = -13 $$ $$ a = \frac{13}{2} $$ Vậy tọa độ của điểm M là $ \left( \frac{13}{2}, \frac{161}{52}, \frac{113}{104} \right) $. Khoảng cách từ điểm M đến điểm O: $$ OM = \sqrt{\left( \frac{13}{2} \right)^2 + \left( \frac{161}{52} \right)^2 + \left( \frac{113}{104} \right)^2} $$ $$ OM = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{25921}{2704} + \frac{12769}{10816}} $$ $$ OM = \sqrt{\frac{169 \times 2704 + 25921 \times 4 + 12769}{10816}} $$ $$ OM = \sqrt{\frac{456976 + 103684 + 12769}{10816}} $$ $$ OM = \sqrt{\frac{573429}{10816}} $$ $$ OM = \sqrt{53.01} \approx 7.28 $$ Đáp số: Khoảng cách từ điểm M đến điểm O là khoảng 7.28. Câu 4: Để tính diện tích của phần sân chơi, ta cần biết diện tích tổng của khu sinh hoạt cộng đồng và diện tích của phần trồng hoa. Diện tích tổng của khu sinh hoạt cộng đồng là: $$ S_{\text{tổng}} = 60 \times 80 = 4800 \text{ m}^2 $$ Phần trồng hoa gồm hai phần, mỗi phần có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m. Ta sẽ tính diện tích của một phần trồng hoa rồi nhân đôi để tìm diện tích của cả hai phần. Diện tích của một phần trồng hoa có thể được tính bằng cách lấy diện tích của một nửa hình chữ nhật trừ đi diện tích của một nửa parabol. Diện tích của một nửa hình chữ nhật là: $$ S_{\text{nhalf}} = \frac{1}{2} \times 60 \times 80 = 2400 \text{ m}^2 $$ Diện tích của một nửa parabol có thể được tính bằng cách sử dụng công thức diện tích dưới đồ thị của hàm số $ y = ax^2 $ từ $ x = -b $ đến $ x = b $: $$ S_{\text{parabol}} = \int_{-b}^{b} ax^2 \, dx = 2 \int_{0}^{b} ax^2 \, dx = 2 \left[ \frac{ax^3}{3} \right]_0^b = 2 \cdot \frac{ab^3}{3} = \frac{2ab^3}{3} $$ Trong trường hợp này, $ a = -\frac{1}{20} $ (vì khoảng cách từ đỉnh đến trung điểm cạnh tương ứng là 20 m) và $ b = 20 $: $$ S_{\text{parabol}} = \frac{2 \cdot (-\frac{1}{20}) \cdot 20^3}{3} = \frac{2 \cdot (-\frac{1}{20}) \cdot 8000}{3} = \frac{-800}{3} = \frac{800}{3} \text{ m}^2 $$ Diện tích của một phần trồng hoa là: $$ S_{\text{hoa}} = 2400 - \frac{800}{3} = \frac{7200}{3} - \frac{800}{3} = \frac{6400}{3} \text{ m}^2 $$ Diện tích của cả hai phần trồng hoa là: $$ S_{\text{2 hoa}} = 2 \times \frac{6400}{3} = \frac{12800}{3} \text{ m}^2 $$ Diện tích của phần sân chơi là: $$ S_{\text{sân chơi}} = S_{\text{tổng}} - S_{\text{2 hoa}} = 4800 - \frac{12800}{3} = \frac{14400}{3} - \frac{12800}{3} = \frac{1600}{3} \text{ m}^2 $$ Đáp số: Diện tích của phần sân chơi là $\frac{1600}{3}$ m². Câu 5: Lợi nhuận thu được khi sản xuất x sản phẩm là: $$ R(x) = F(x) - x \cdot G(x) $$ $$ R(x) = x^3 - 1999x^2 + 1001000x + 250000 - x(x + 1000 + \frac{250000}{x}) $$ $$ R(x) = x^3 - 1999x^2 + 1001000x + 250000 - x^2 - 1000x - 250000 $$ $$ R(x) = x^3 - 2000x^2 + 1000000x $$ Để tìm giá trị lớn nhất của R(x), ta tính đạo hàm R'(x): $$ R'(x) = 3x^2 - 4000x + 1000000 $$ Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình R'(x) = 0: $$ 3x^2 - 4000x + 1000000 = 0 $$ Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ $$ x = \frac{4000 \pm \sqrt{4000^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1000000}}{2 \cdot 3} $$ $$ x = \frac{4000 \pm \sqrt{16000000 - 12000000}}{6} $$ $$ x = \frac{4000 \pm \sqrt{4000000}}{6} $$ $$ x = \frac{4000 \pm 2000}{6} $$ Ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{4000 + 2000}{6} = 1000 $$ $$ x_2 = \frac{4000 - 2000}{6} = \frac{2000}{6} = \frac{1000}{3} \approx 333.33 $$ Do doanh nghiệp chỉ sản xuất không quá 500 sản phẩm, ta chỉ xét nghiệm $ x = 333.33 $. Kiểm tra đạo hàm R''(x) tại x = 333.33: $$ R''(x) = 6x - 4000 $$ $$ R''(333.33) = 6 \cdot 333.33 - 4000 < 0 $$ Vậy x = 333.33 là điểm cực đại của R(x). Do đó, doanh nghiệp cần sản xuất khoảng 333 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Đáp số: 333 sản phẩm. Câu 6: Gọi A là biến cố "Lấy ra 1 quả bóng từ hộp I là quả bóng màu đỏ", $\overline{A}$ là biến cố "Lấy ra 1 quả bóng từ hộp I là quả bóng màu vàng". Gọi B là biến cố "Lấy ra 1 quả bóng từ hộp II là quả bóng màu đỏ". Gọi C là biến cố "Quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang". Ta có: $P(A)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ $P(\overline{A})=1-P(A)=\frac{2}{5}$ $P_{A}(B)=\frac{8}{11}$ $P_{\overline{A}}(B)=\frac{7}{11}$ $P(B)=P(A).P_{A}(B)+P(\overline{A}).P_{\overline{A}}(B)$ $=\frac{3}{5}\times \frac{8}{11}+\frac{2}{5}\times \frac{7}{11}=\frac{38}{55}$ $P_{B}(C)=\frac{P(A).P_{A}(B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{5}\times \frac{8}{11}}{\frac{38}{55}}=\frac{12}{19}\approx 0,63=63%$ Vậy xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang là 63%.

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f(x) = e ^ x là: A. (e ^ (x + 1))/(x + 1) + C B. e ^ x + C C. (e ^ x)/x + C D. x * e ^ (x - 1) + C Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên coạn [a; b]...