Câu 10:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính thể tích của một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng và có thiết diện là một hình có diện tích thay đổi theo vị trí dọc theo trục Ox.
Theo đề bài, vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại và (với ). Mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ (trong khoảng từ đến ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là .
Công thức tính thể tích của vật thể này là:
Trong các lựa chọn đã cho:
- A.
- B.
- C.
- D.
Chúng ta thấy rằng công thức đúng là:
Do đó, đáp án đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 11:
Công sai của cấp số cộng là:
Thay giá trị của và vào công thức trên, ta có:
Vậy công sai của cấp số cộng đó là .
Do đó, đáp án đúng là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Đáp án: C. 3
Câu 12:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức cường độ động đất .
Bước 1: Xác định biên độ rung chấn của trận động đất ở San Francisco.
- Cường độ trận động đất ở San Francisco là 8,3 độ Richter.
- Biên độ rung chấn của trận động đất ở San Francisco là .
- Biên độ chuẩn là .
Theo công thức:
Bước 2: Xác định biên độ rung chấn của trận động đất ở Nam Mỹ.
- Biên độ rung chấn của trận động đất ở Nam Mỹ là .
- Biên độ rung chấn của trận động đất ở Nam Mỹ mạnh hơn gấp 4 lần so với trận động đất ở San Francisco.
Do đó:
Bước 3: Tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ.
- Áp dụng công thức cường độ động đất:
Bước 4: Tính giá trị của .
Bước 5: Tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ.
Vậy cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là khoảng 8,9 độ Richter.
Đáp án đúng là: B. 8,9 độ Richter.
Câu 1:
a) Đúng vì vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
b) Đúng vì vectơ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , do .
c) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính bằng công thức:
Trong đó, là các hệ số của phương trình mặt phẳng và là tọa độ của điểm . Thay vào ta có:
Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là 3, không phải 9. Do đó, câu này sai.
d) Mặt cầu tâm và bán kính bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng , tức là 3, có phương trình:
Vậy phương trình của mặt cầu là đúng.
Kết luận:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
Câu 2:
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng :
- Đồ thị hàm số giảm từ trái sang phải trên khoảng này, tức là giá trị của hàm số giảm khi tăng. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng .
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm :
- Trên đồ thị, ta thấy rằng tại điểm , đồ thị hàm số có dạng lõm xuống, tức là giá trị của hàm số tại điểm này nhỏ hơn giá trị của hàm số tại các điểm lân cận. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng :
- Trên khoảng , đồ thị hàm số tăng từ trái sang phải, tức là giá trị của hàm số tăng khi tăng. Điều này có nghĩa là đạo hàm của hàm số dương trên khoảng này. Do đó, đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng .
d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên đường tròn tâm O bán kính :
- Ta thấy rằng đồ thị hàm số có tâm đối xứng nằm ở điểm . Điểm này nằm trên đường tròn tâm O (gốc tọa độ) và bán kính vì khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ là .
Vậy, tất cả các phát biểu đều đúng.
Câu 3:
Để giải quyết các câu hỏi về vận tốc và quãng đường của vật chuyển động theo quy luật , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
a) Vận tốc của vật
Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường :
b) Vận tốc của vật tại thời điểm giây
Thay vào biểu thức vận tốc:
c) Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn
Vật dừng hẳn khi vận tốc :
Vậy vật dừng hẳn tại thời điểm giây. Quãng đường vật đi được từ đến giây là:
d) Vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây
Để tìm vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian 10 giây, ta cần tìm cực đại của hàm số trên đoạn .
Tìm đạo hàm của :
Đặt :
Kiểm tra các giá trị tại các điểm , , và :
Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây là 108 m/s.
Đáp số:
a) Vận tốc của vật là
b) Vận tốc của vật tại thời điểm giây là 60 m/s
c) Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn là 864 m
d) Vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây là 108 m/s
Câu 4:
Trước tiên, ta cần biết rằng nếu hai biến cố A và B là độc lập thì xác suất của biến cố A không phụ thuộc vào biến cố B và ngược lại. Do đó, ta có:
Ta cũng biết rằng:
Do đó:
Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đáp án:
a)
Vì A và B là độc lập, nên:
Đáp án này sai vì .
b)
Vì A và B là độc lập, nên:
Đáp án này đúng.
c)
Vì A và B là độc lập, nên:
Đáp án này đúng.
d)
Vì A và B là độc lập, nên:
Đáp án này sai vì .
Kết luận:
- Đáp án b) và c) là đúng.
- Đáp án a) và d) là sai.
Đáp số: b) và c).