Chứng minh P(x), tìm P(x). Câu 3. (3,0 điểm) Cho đa thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn:,$P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1),\forall x\in\mathbb{R}.$,Chứng minh P(x) không phải là đa thức bậc lẻ và tìm $P(x).$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 3.
Giả sử P(x) là đa thức bậc lẻ, ta có:
- P(x)P(x + 1) là tích của hai đa thức bậc lẻ nên là đa thức bậc chẵn.
- P(x^2 + x + 1) là đa thức bậc lẻ (vì x^2 + x + 1 là đa thức bậc chẵn).

Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, do đó P(x) không thể là đa thức bậc lẻ.

Bây giờ, ta sẽ tìm P(x). Giả sử P(x) là đa thức bậc n, ta có:
- P(x)P(x + 1) là đa thức bậc 2n.
- P(x^2 + x + 1) cũng là đa thức bậc n.

Do đó, 2n = n, suy ra n = 0 hoặc n = 1. Ta xét các trường hợp:
1. Nếu n = 0, thì P(x) là hằng số. Gọi P(x) = a, ta có:
   a  a = a
   a^2 = a
   a(a - 1) = 0
   Vậy a = 0 hoặc a = 1. Do đó, P(x) = 0 hoặc P(x) = 1.

2. Nếu n = 1, thì P(x) là đa thức bậc 1. Gọi P(x) = ax + b, ta có:
   (ax + b)(a(x + 1) + b) = a(x^2 + x + 1) + b
   (ax + b)(ax + a + b) = ax^2 + ax + a + b
   a^2x^2 + abx + a^2x + ab + b^2 = ax^2 + ax + a + b
   a^2x^2 + (ab + a^2)x + ab + b^2 = ax^2 + ax + a + b

So sánh hệ số tương ứng, ta có:
- a^2 = a
- ab + a^2 = a
- ab + b^2 = a + b

Từ a^2 = a, ta có a = 0 hoặc a = 1.
- Nếu a = 0, thì P(x) = b, trở về trường hợp n = 0.
- Nếu a = 1, thay vào ab + a^2 = a, ta có b + 1 = 1, suy ra b = 0. Thay vào ab + b^2 = a + b, ta có 0 + 0 = 1 + 0, vô lý.

Vậy, P(x) chỉ có thể là hằng số 0 hoặc 1.

Kết luận: P(x) không phải là đa thức bậc lẻ và P(x) = 0 hoặc P(x) = 1.