Bài 1 nhé. Bài 1 (4,0 điểm). Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi $x_1=3\sqrt3$ và $x_{n+1}=x^2_n-2,~\forall n\geq1.$,Đặt $u_n=\frac{x_{n+1}}{x_1x_2...x_n}.$,a. Chứng minh rằng: dãy $(x_n)$ là dãy tăng, dãy $(u_n)$ là dãy giảm.,b. Tìm $\lim u_n.$

Question

Accepted Answer

Bài 1 Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của họ. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $. Giải: 1. Xác định tập xác định: Hàm số $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ là một hàm đa thức, do đó tập xác định của nó là $ \mathbb{R} $. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = 2x - 4 $$ 3. Tìm các điểm cực trị: $$ f'(x) = 0 \implies 2x - 4 = 0 \implies x = 2 $$ Ta có $ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $. 4. Xét dấu đạo hàm để xác định tính chất của các điểm cực trị: - Khi $ x < 2 $, ta có $ f'(x) < 0 $ (hàm số giảm). - Khi $ x > 2 $, ta có $ f'(x) > 0 $ (hàm số tăng). Do đó, $ x = 2 $ là điểm cực tiểu của hàm số. 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Vì hàm số $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ là một parabol mở lên (vì hệ số của $ x^2 $ là dương), giá trị nhỏ nhất của hàm số là giá trị tại điểm cực tiểu. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -1 $, đạt được khi $ x = 2 $. - Giá trị lớn nhất của hàm số không tồn tại vì hàm số mở rộng vô cùng khi $ x \to \pm \infty $. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ -1 $, đạt được khi $ x = 2 $. - Giá trị lớn nhất của hàm số không tồn tại. Như vậy, chúng ta đã giải quyết bài toán theo đúng các quy tắc đã đề ra. Bài 1 a. Ta sẽ chứng minh dãy $(x_n)$ là dãy tăng và dãy $(u_n)$ là dãy giảm. - Chứng minh dãy $(x_n)$ là dãy tăng: Ta có: $$ x_{n+1} - x_n = x_n^2 - 2 - x_n = x_n(x_n - 1) - 2 $$ Vì $x_1 = 3\sqrt{3} > 2$, ta thấy $x_n > 2$ cho mọi $n$. Do đó: $$ x_n(x_n - 1) > 2 \implies x_{n+1} - x_n > 0 $$ Vậy dãy $(x_n)$ là dãy tăng. - Chứng minh dãy $(u_n)$ là dãy giảm: Ta có: $$ u_n = \frac{x_{n+1}}{x_1 x_2 \cdots x_n} $$ Ta cần chứng minh $u_{n+1} < u_n$: $$ u_{n+1} = \frac{x_{n+2}}{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1}} $$ Ta có: $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{x_{n+2}}{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1}}}{\frac{x_{n+1}}{x_1 x_2 \cdots x_n}} = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}^2} $$ Ta cần chứng minh: $$ \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}^2} < 1 \implies x_{n+2} < x_{n+1}^2 $$ Vì $x_{n+2} = x_{n+1}^2 - 2$, ta có: $$ x_{n+2} = x_{n+1}^2 - 2 < x_{n+1}^2 $$ Vậy dãy $(u_n)$ là dãy giảm. b. Tìm $\lim u_n$: Ta có: $$ u_n = \frac{x_{n+1}}{x_1 x_2 \cdots x_n} $$ Vì dãy $(x_n)$ là dãy tăng và $x_n > 2$ cho mọi $n$, ta thấy $x_n \to \infty$ khi $n \to \infty$. Do đó: $$ u_n = \frac{x_{n+1}}{x_1 x_2 \cdots x_n} \to 0 $$ Vậy: $$ \lim_{n \to \infty} u_n = 0 $$ Đáp số: a. Dãy $(x_n)$ là dãy tăng, dãy $(u_n)$ là dãy giảm. b. $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.