Cho tam giác ABC, AB = 2; AC = 3, đường phân giác AD có độ dài bằng 1,2. Tính góc BAC.

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở E

Có AD//EB

=> ∠BAD = ∠ABE (so le trong)

=> ∠E = ∠CAD (đồng vị)

Mà AD là phân giác ∠A

=> ∠BAD = ∠CAD

=> ∠ABE = ∠E

=> ΔABE cân ở A

=> AE = AB = 2cm

Vì AD//EB nên ta áp dụng định lí Ta-lét:

$$\frac{AD}{EB}=\frac{AC}{EC}$$

$$\Rightarrow\frac{1,2}{EB}=\frac{3}{AC+AE}$$

$$\Rightarrow\frac{1,2}{EB}=\frac{3}{5}$$

$$\Rightarrow EB=2\operatorname{cm}$$

=> EB = AE = AB = 2cm

=> ΔAEB đều

=> ∠EAB = 60 độ

Vì A, C, E thẳng hàng

=> ∠EAC = 180 độ

Mà ∠BAC = ∠EAC - ∠EAB = 180 độ - 60 độ = 120 độ

Vậy ∠BAC = 120 độ.

Timi · Answer

Để tính góc BAC của tam giác ABC với các thông tin đã cho, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosine và Định lý Sin.

Bước 1: Áp dụng Định lý Cosine trong tam giác ABD và ACD

Trong tam giác ABD:
$$ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD) $$

Trong tam giác ACD:
$$ CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD) $$

Bước 2: Vì AD là đường phân giác của góc BAC, nên $\angle BAD = \angle CAD$. Gọi $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$.

Bước 3: Áp dụng Định lý Sin trong tam giác ABD và ACD

Trong tam giác ABD:
$$ \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$

Trong tam giác ACD:
$$ \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $$

Bước 4: Vì $\angle BAD = \angle CAD$, nên $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.

Bước 5: Áp dụng Định lý Cosine trong tam giác ABC

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) $$

Bước 6: Kết hợp các phương trình trên để tìm $\cos(\angle BAC)$

Từ Định lý Cosine trong tam giác ABC:
$$ BC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(\angle BAC) $$
$$ BC^2 = 4 + 9 - 12 \cdot \cos(\angle BAC) $$
$$ BC^2 = 13 - 12 \cdot \cos(\angle BAC) $$

Bước 7: Áp dụng Định lý Cosine trong tam giác ABD và ACD để tìm $BD$ và $CD$

Trong tam giác ABD:
$$ BD^2 = 2^2 + 1.2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1.2 \cdot \cos(\alpha) $$
$$ BD^2 = 4 + 1.44 - 4.8 \cdot \cos(\alpha) $$
$$ BD^2 = 5.44 - 4.8 \cdot \cos(\alpha) $$

Trong tam giác ACD:
$$ CD^2 = 3^2 + 1.2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1.2 \cdot \cos(\alpha) $$
$$ CD^2 = 9 + 1.44 - 7.2 \cdot \cos(\alpha) $$
$$ CD^2 = 10.44 - 7.2 \cdot \cos(\alpha) $$

Bước 8: Áp dụng Định lý Sin trong tam giác ABD và ACD để tìm $\sin(\alpha)$

Trong tam giác ABD:
$$ \frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{2}{\sin(\angle ADB)} $$

Trong tam giác ACD:
$$ \frac{CD}{\sin(\alpha)} = \frac{3}{\sin(\angle ADC)} $$

Bước 9: Kết hợp các phương trình trên để tìm $\cos(\angle BAC)$

Từ Định lý Cosine trong tam giác ABC:
$$ BC^2 = 13 - 12 \cdot \cos(\angle BAC) $$

Từ Định lý Cosine trong tam giác ABD và ACD:
$$ BD^2 = 5.44 - 4.8 \cdot \cos(\alpha) $$
$$ CD^2 = 10.44 - 7.2 \cdot \cos(\alpha) $$

Bước 10: Giải phương trình để tìm $\cos(\angle BAC)$

$$ \cos(\angle BAC) = \frac{13 - BC^2}{12} $$

Bước 11: Tìm giá trị của $\angle BAC$

$$ \angle BAC = \arccos\left(\frac{13 - BC^2}{12}\right) $$

Vậy góc BAC là:
$$ \boxed{\angle BAC = \arccos\left(\frac{13 - BC^2}{12}\right)} $$