Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n^2 + 1234 là một số chính phương.

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

Đặt $$t^2=n^2+1234$$ (t ∈ N*)

$$\Rightarrow t^2-n^2=1234$$

$$\Leftrightarrow\left(t+n ight)\left(t-n ight)=1234$$

Ta thấy: $$t+n>t-n;t+n>0$$ (t ∈ N*; n ∈ N)

$$\Rightarrow\left(t-n ight)\left(t+n ight)=1.1234=2.617$$

TH1: $$\begin{cases}t-n=1 \ t+n=1234\end{cases}\Rightarrow2t=1235\Leftrightarrow t=\frac{1235}{2}\left(loại ight)$$

$$\Rightarrow t^2$$ không phải là số chính phương

TH2: $$\begin{cases}t-n=2 \ t+n=617\end{cases}\Rightarrow2t=619\Leftrightarrow t=\frac{619}{2}\left(loại ight)$$

$$\Rightarrow t^2$$ không phải là số chính phương

→ Không có giá trị n ∈ N* thỏa mãn đề bài.

Timi · Answer

Gọi số chính phương đó là $ m^2 $, ta có:
$$ n^2 + 1234 = m^2 $$
$$ m^2 - n^2 = 1234 $$
$$ (m-n)(m+n) = 1234 $$

Ta thấy 1234 chỉ có các ước số dương là 1, 2, 617, 1234. Ta xét các trường hợp sau:

1. $ m-n = 1 $ và $ m+n = 1234 $
   $$ m = \frac{1234 + 1}{2} = 617,5 $$ (loại vì m phải là số tự nhiên)

2. $ m-n = 2 $ và $ m+n = 617 $
   $$ m = \frac{617 + 2}{2} = 309,5 $$ (loại vì m phải là số tự nhiên)

3. $ m-n = 617 $ và $ m+n = 2 $
   $$ m = \frac{2 + 617}{2} = 309,5 $$ (loại vì m phải là số tự nhiên)

4. $ m-n = 1234 $ và $ m+n = 1 $
   $$ m = \frac{1 + 1234}{2} = 617,5 $$ (loại vì m phải là số tự nhiên)

Như vậy, không có giá trị nào của $ n $ thỏa mãn điều kiện đề bài. Do đó, không có số tự nhiên $ n $ sao cho $ n^2 + 1234 $ là số chính phương.