Câu 22
Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ và hình học trong không gian.
a)
- Ta biết rằng I là tâm của hình bình hành ABB'A', do đó .
- Tương tự, K là tâm của hình bình hành BCC'B', do đó .
- Ta có .
- Vì và , nên:
- Do đó, là đúng.
b)
- Ta có và .
- Vì và , nên:
- Ta thấy rằng , do đó:
- Do đó, là đúng.
c)
- Ta có và .
- Vì và , nên:
- Ta cũng có .
- Ta thấy rằng , do đó:
- Do đó, là đúng.
d)
- Ta đã biết , do đó:
- Ta có và , do đó:
- Ta thấy rằng , do đó:
- Do đó, là đúng.
Kết luận:
- Mệnh đề a) Đúng.
- Mệnh đề b) Đúng.
- Mệnh đề c) Đúng.
- Mệnh đề d) Đúng.
Câu 23
Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ tính từng vector theo các vector đã cho.
a) Ta có:
Trọng tâm của tam giác là:
Vì và , nên:
Do đó:
Vậy:
Mệnh đề a) sai vì .
b) Ta có:
Vậy:
Mệnh đề b) đúng.
c) Ta có:
Trọng tâm của tam giác là:
Giao điểm của và là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đường chéo của hình bình hành :
Vậy:
Mệnh đề c) đúng.
d) Ta có:
Vì , nên:
Mệnh đề d) sai vì .
Đáp án:
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Câu 24
Trước tiên, ta sẽ biểu diễn các vectơ và theo các vectơ , và .
1. Biểu diễn vectơ :
- Vì , nên điểm M chia đoạn thẳng AC thành tỉ số 1:2.
- Ta có .
- Do đó, .
2. Biểu diễn vectơ :
- Vì , nên điểm N chia đoạn thẳng BF thành tỉ số 1:2.
- Ta có .
- Do đó, .
3. Biểu diễn vectơ :
- Ta có .
- Thay các biểu diễn đã tìm được vào, ta có:
Do đó, ta có:
So sánh với , ta nhận thấy:
Tính giá trị của :
Đáp số: .
Câu 25
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ .
2. Tìm vectơ .
3. Tìm vectơ .
4. Tìm vectơ .
5. Xác định các hệ số , , và tính .
Bước 1: Tìm vectơ .
M là trung điểm của AB, nên:
Bước 2: Tìm vectơ .
N là điểm trên cạnh CD sao cho . Điều này có nghĩa là N chia đoạn CD theo tỉ số 1:2. Do đó:
Tuy nhiên, vì là gốc tọa độ, nên:
Bước 3: Tìm vectơ .
Bước 4: Tìm vectơ .
O là trung điểm của đoạn thẳng MN, nên:
Bước 5: Xác định các hệ số , , và tính .
Ta có:
So sánh với:
Ta nhận thấy:
Do đó:
Đáp số:
Điền đáp số: 210.