Chứng minh bất. Câu 3. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có $BC=a,CA=b,AB=c$ và có diện tích là S. Kí hiệu $m_a,m_b,m_c$,lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng $2m^2_s\geq m^2_b+m^2_c.$ Chứng minh,$a^2\leq4S.\cot A.$

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Ta có:
$$ m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} $$
$$ m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} $$
$$ m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} $$

Theo giả thiết ta có:
$$ 2m_a^2 \geq m_b^2 + m_c^2 $$

Thay các biểu thức của $ m_a^2, m_b^2, m_c^2 $ vào ta được:
$$ 2 \left( \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \right) \geq \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} + \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} $$

Nhân cả hai vế với 4 ta có:
$$ 2(2b^2 + 2c^2 - a^2) \geq (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2a^2 + 2b^2 - c^2) $$

Mở ngoặc và gom các hạng tử tương tự lại ta được:
$$ 4b^2 + 4c^2 - 2a^2 \geq 4a^2 + c^2 + b^2 $$

Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế ta có:
$$ 4b^2 + 4c^2 - 2a^2 - 4a^2 - c^2 - b^2 \geq 0 $$

Gom các hạng tử tương tự lại ta được:
$$ 3b^2 + 3c^2 - 6a^2 \geq 0 $$

Chia cả hai vế cho 3 ta có:
$$ b^2 + c^2 - 2a^2 \geq 0 $$

Hay:
$$ b^2 + c^2 \geq 2a^2 $$

Bây giờ, ta sẽ chứng minh $ a^2 \leq 4S \cot A $.

Diện tích $ S $ của tam giác $ ABC $ được tính bằng công thức:
$$ S = \frac{1}{2} bc \sin A $$

Cotangent của góc $ A $ là:
$$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $$

Ta biết rằng:
$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$

Do đó:
$$ \cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc \sin A} $$

Nhân cả hai vế với $ 4S $:
$$ 4S \cot A = 4 \left( \frac{1}{2} bc \sin A \right) \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc \sin A} \right) $$

Rút gọn ta được:
$$ 4S \cot A = \frac{bc \sin A (b^2 + c^2 - a^2)}{bc \sin A} $$

$$ 4S \cot A = b^2 + c^2 - a^2 $$

Theo giả thiết ta đã chứng minh được:
$$ b^2 + c^2 \geq 2a^2 $$

Do đó:
$$ b^2 + c^2 - a^2 \geq a^2 $$

Vậy:
$$ 4S \cot A \geq a^2 $$

Điều này chứng tỏ:
$$ a^2 \leq 4S \cot A $$

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.