Giải giúp mình

Câu 1. Để tính $\cos\alpha$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích hình chóp SABCD: - Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = (\sqrt{2})^2 = 2 \] - Thể tích hình chóp SABCD là: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 2 \times 3 = 2 \] 2. Tính diện tích tam giác SBD: - Ta có: \[ BD = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2 \] - Diện tích tam giác SBD là: \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times SA = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \] 3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD): - Gọi khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) là h. Ta có: \[ V_{SABCD} = V_{SBCD} + V_{SABD} \] \[ 2 = \frac{1}{3} \times S_{SBD} \times h + \frac{1}{3} \times S_{SBD} \times SA \] \[ 2 = \frac{1}{3} \times 3 \times h + \frac{1}{3} \times 3 \times 3 \] \[ 2 = h + 3 \] \[ h = 2 - 3 = -1 \quad \text{(không hợp lý)} \] - Do đó, ta cần tính lại: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{SBD} \times h \] \[ 2 = \frac{1}{3} \times 3 \times h \] \[ 2 = h \] \[ h = 2 \] 4. Tính $\cos\alpha$: - Ta có: \[ \cos\alpha = \frac{h}{SC} \] - Ta cần tính SC: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 2} = \sqrt{11} \] - Vậy: \[ \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{11}} \approx 0.6 \] Đáp số: $\cos\alpha \approx 0.6$ Câu 2. Để tính diện tích phần tô màu, ta cần tính diện tích của hình tròn lớn và trừ đi diện tích của sáu cánh hoa. 1. Tính diện tích hình tròn lớn: - Bán kính của hình tròn lớn là \( R = 2 + 4 = 6 \) dm. - Diện tích hình tròn lớn là: \[ S_{\text{tròn}} = \pi R^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \, \text{dm}^2 \] 2. Tính diện tích một cánh hoa: - Mỗi cánh hoa là một phần của hình parabol, ta sẽ tính diện tích của một cánh hoa rồi nhân lên 6 để có tổng diện tích của sáu cánh hoa. - Ta lấy một cánh hoa làm ví dụ, nó có dạng một phần của parabol đi qua hai điểm đầu mút của cạnh hình lục giác và đỉnh parabol cách cạnh 4 dm. - Ta có phương trình của parabol là \( y = ax^2 + bx + c \). Vì đỉnh parabol cách cạnh 4 dm và đỉnh nằm ở giữa hai điểm đầu mút của cạnh, ta có: \[ y = a(x-1)^2 + 4 \] - Điểm (0,0) và (2,0) thuộc parabol, thay vào ta có: \[ 0 = a(0-1)^2 + 4 \implies a + 4 = 0 \implies a = -4 \] \[ 0 = a(2-1)^2 + 4 \implies a + 4 = 0 \implies a = -4 \] - Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -4(x-1)^2 + 4 \] - Diện tích một cánh hoa là: \[ S_{\text{hoa}} = \int_{0}^{2} (-4(x-1)^2 + 4) \, dx \] - Tính tích phân: \[ S_{\text{hoa}} = \left[ -\frac{4}{3}(x-1)^3 + 4x \right]_0^2 = \left( -\frac{4}{3}(2-1)^3 + 4 \times 2 \right) - \left( -\frac{4}{3}(0-1)^3 + 4 \times 0 \right) \] \[ S_{\text{hoa}} = \left( -\frac{4}{3} + 8 \right) - \left( \frac{4}{3} \right) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \, \text{dm}^2 \] - Tổng diện tích của sáu cánh hoa là: \[ S_{\text{6 hoa}} = 6 \times \frac{16}{3} = 32 \, \text{dm}^2 \] 3. Tính diện tích phần tô màu: - Diện tích phần tô màu là: \[ S_{\text{tô màu}} = S_{\text{tròn}} - S_{\text{6 hoa}} = 36\pi - 32 \approx 36 \times 3.14 - 32 = 113.04 - 32 = 81.04 \, \text{dm}^2 \] - Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ S_{\text{tô màu}} \approx 81 \, \text{dm}^2 \] Đáp số: 81 dm²