điền đáp án đúng

Câu 2. Để tìm giá trị cực tiểu và cực đại của hàm số $y = f(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 2x - 2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ f'(x) = -x^2 - 3x - 2 \] Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị \[ f'(x) = -x^2 - 3x - 2 = 0 \] \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \] \[ (x + 1)(x + 2) = 0 \] \[ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị - Ta kiểm tra dấu của đạo hàm $f'(x)$ ở các khoảng $( -\infty, -2 )$, $( -2, -1 )$, và $( -1, +\infty )$: - Khi $x < -2$: $f'(x) < 0$ - Khi $-2 < x < -1$: $f'(x) > 0$ - Khi $x > -1$: $f'(x) < 0$ Từ đó suy ra: - $x = -2$ là điểm cực tiểu. - $x = -1$ là điểm cực đại. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị - Tại $x = -2$: \[ f(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2} - 2(-2) - 2 = \frac{8}{3} - 6 + 4 - 2 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3} \] Vậy giá trị cực tiểu $y_1 = -\frac{4}{3}$. - Tại $x = -1$: \[ f(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{3(-1)^2}{2} - 2(-1) - 2 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 - 2 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{2}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{7}{6} \] Vậy giá trị cực đại $y_2 = -\frac{7}{6}$. Bước 5: Tính giá trị của $P = -4y_1 - 3y_2$ \[ P = -4 \left( -\frac{4}{3} \right) - 3 \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{16}{3} + \frac{21}{6} = \frac{32}{6} + \frac{21}{6} = \frac{53}{6} \approx 8.8 \] Vậy $P \approx 8.8$. Câu 3. Gọi A là biến cố "Người được xét nghiệm mắc bệnh". Gọi B là biến cố "Kết quả xét nghiệm dương tính". Ta có: - P(A) = 0,35 (xác suất người mắc bệnh) - P($\overline{A}$) = 0,65 (xác suất người khỏe mạnh) - P(B|A) = 0,77 (xác suất dương tính đúng ở người mắc bệnh) - P(B|$\overline{A}$) = 0,04 (xác suất dương tính sai ở người khỏe mạnh) Áp dụng công thức xác suất tổng: \[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) \] Thay các giá trị vào: \[ P(B) = 0,35 \cdot 0,77 + 0,65 \cdot 0,04 \] \[ P(B) = 0,2695 + 0,026 \] \[ P(B) = 0,2955 \] Bây giờ, ta cần tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh khi kết quả xét nghiệm dương tính, tức là P(A|B): \[ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} \] Thay các giá trị vào: \[ P(A|B) = \frac{0,35 \cdot 0,77}{0,2955} \] \[ P(A|B) = \frac{0,2695}{0,2955} \] \[ P(A|B) \approx 0,912 \] Vậy xác suất người đó thực sự mắc bệnh khi kết quả xét nghiệm dương tính là khoảng 91,2%. Đáp số: 91,2% Câu 4. Để tìm bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$: Mặt cầu $(S)$ có phương trình: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z - 46 = 0 \] Ta viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn: \[ (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 81 \] Từ đó, ta thấy tâm của mặt cầu là $I(4, 4, 4)$ và bán kính là $R = 9$. 2. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: \[ 3x + 2y + 4z - 5 = 0 \] Khoảng cách từ điểm $I(4, 4, 4)$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 4 - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|12 + 8 + 16 - 5|}{\sqrt{9 + 4 + 16}} = \frac{21}{\sqrt{29}} \] 3. Tính bán kính của đường tròn giao: Bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu và mặt phẳng được tính bằng công thức: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} \] Thay các giá trị đã tìm được vào: \[ r = \sqrt{9^2 - \left(\frac{21}{\sqrt{29}}\right)^2} = \sqrt{81 - \frac{441}{29}} = \sqrt{\frac{2349 - 441}{29}} = \sqrt{\frac{1908}{29}} = \sqrt{65.8} \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ r \approx 8.1 \] Vậy bán kính của đường tròn giao giữa mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ là $\boxed{8.1}$. Câu 5. Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm $H(a; b; c)$ của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = -10 - 3t \\ y = 23 + 6t \\ z = 1 - t \end{cases} \] Bước 2: Thay tọa độ của điểm $H$ vào phương trình của mặt phẳng $(P)$ để tìm giá trị của tham số $t$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: \[ -5x - 6y - z + 9 = 0 \] Thay $x = -10 - 3t$, $y = 23 + 6t$, $z = 1 - t$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ -5(-10 - 3t) - 6(23 + 6t) - (1 - t) + 9 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của $t$. \[ 50 + 15t - 138 - 36t - 1 + t + 9 = 0 \] \[ -20t - 80 = 0 \] \[ -20t = 80 \] \[ t = -4 \] Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm $H(a; b; c)$ bằng cách thay giá trị của $t$ vào phương trình tham số của đường thẳng $d$. \[ \begin{cases} a = -10 - 3(-4) = -10 + 12 = 2 \\ b = 23 + 6(-4) = 23 - 24 = -1 \\ c = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5 \end{cases} \] Tọa độ giao điểm $H$ là $(2; -1; 5)$. Bước 5: Tính $P = a + b + c$. \[ P = 2 + (-1) + 5 = 6 \] Đáp số: $P = 6$. Câu 6. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số người dự thi: Tổng số người dự thi = 12 + 2 + 14 + 17 + 14 + 13 = 72 người. 2. Xác định các giá trị Q1 và Q3: - Q1 là giá trị ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{72}{4} = 18$. - Q3 là giá trị ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 72}{4} = 54$. 3. Xác định các khoảng chứa Q1 và Q3: - Tính tổng dãy số người dự thi từ dưới lên: - [0; 2,5): 12 người - [2,5; 5): 12 + 2 = 14 người - [5; 7,5): 14 + 14 = 28 người - [7,5; 10): 28 + 17 = 45 người - [10; 12,5): 45 + 14 = 59 người - [12,5; 15): 59 + 13 = 72 người - Q1 nằm trong khoảng [5; 7,5) vì 18 nằm giữa 14 và 28. - Q3 nằm trong khoảng [7,5; 10) vì 54 nằm giữa 45 và 59. 4. Tính giá trị cụ thể của Q1 và Q3: - Q1 = 5 + $\frac{(18 - 14)}{(28 - 14)} \times (7,5 - 5)$ = 5 + $\frac{4}{14} \times 2,5$ ≈ 5 + 0,7143 × 2,5 ≈ 5 + 1,7857 ≈ 6,8. - Q3 = 7,5 + $\frac{(54 - 45)}{(59 - 45)} \times (10 - 7,5)$ = 7,5 + $\frac{9}{14} \times 2,5$ ≈ 7,5 + 0,6429 × 2,5 ≈ 7,5 + 1,6071 ≈ 9,1. 5. Khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 9,1 - 6,8 = 2,3. Đáp số: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 2,3.