Tìm các hàm số f thỏa đề.

Để tìm các hàm số \( f \) thỏa mãn đề bài, chúng ta cần biết thêm thông tin về điều kiện cụ thể của đề bài. Tuy nhiên, dựa trên các quy tắc đã đưa ra, chúng ta sẽ giả sử rằng đề bài yêu cầu tìm các hàm số \( f \) thỏa mãn một số điều kiện nhất định. Dưới đây là một ví dụ về cách giải quyết một bài toán tìm hàm số \( f \). Giả sử đề bài yêu cầu tìm các hàm số \( f \) thỏa mãn: \[ f(x + y) = f(x) + f(y) \] Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của hàm số \( f \) là tất cả các số thực \( x \) và \( y \). Bước 2: Thử nghiệm với các giá trị đặc biệt - Thay \( y = 0 \) vào phương trình: \[ f(x + 0) = f(x) + f(0) \] \[ f(x) = f(x) + f(0) \] Suy ra: \[ f(0) = 0 \] Bước 3: Tìm dạng chung của hàm số - Thay \( y = -x \) vào phương trình: \[ f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) \] \[ f(0) = f(x) + f(-x) \] Vì \( f(0) = 0 \), nên: \[ 0 = f(x) + f(-x) \] Suy ra: \[ f(-x) = -f(x) \] Như vậy, hàm số \( f \) là hàm lẻ. Bước 4: Kiểm tra tính chất tuyến tính - Giả sử \( f \) là hàm tuyến tính, tức là \( f(x) = ax \) với \( a \) là hằng số. - Thay vào phương trình ban đầu: \[ f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y) \] Phương trình này đúng, do đó \( f(x) = ax \) là một hàm số thỏa mãn điều kiện. Bước 5: Kết luận - Các hàm số \( f \) thỏa mãn điều kiện \( f(x + y) = f(x) + f(y) \) là các hàm tuyến tính \( f(x) = ax \), trong đó \( a \) là hằng số. Đáp số: \( f(x) = ax \), với \( a \) là hằng số.