Trên mặt phẳng cho 15 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ một số đoạn thẳng nối hai trong số các điểm này sao cho không có ba cạnh của tam giác nào được vẽ. Chứng minh số đoạn thẳ...

Giả sử người ta đã vẽ được $$ đoạn thẳng. Ta sẽ chứng minh $$. Xét một điểm $$ bất kỳ trên mặt phẳng. Số điểm còn lại là 14 điểm. Ta sẽ xét các trường hợp sau: 1. Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 14 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 14 điểm này. 2. Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 13 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 13 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 12 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 12 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 11 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 11 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 10 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 10 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 9 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 9 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 8 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 8 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 7 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 7 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 6 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 6 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 5 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 5 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 4 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 4 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 3 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 3 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 2 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 2 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 1 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 1 điểm này. - Nếu từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$. Ta sẽ xét các trường hợp sau: - Nếu từ điểm $$ không vẽ được đoạn thẳng nào khác, tức là không có đoạn thẳng nào đi qua điểm $$ ngoại trừ đoạn thẳng $$. Điều này có nghĩa là tất cả các đoạn thẳng được vẽ đều nằm trong tập hợp 0 điểm còn lại. Ta sẽ xét tiếp các điểm trong tập hợp 0 điểm này. Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng nếu từ một điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, và từ điểm $$ vẽ được một đoạn thẳng đến một điểm $$, thì ta sẽ có tổng cộng 14 đoạn thẳng được vẽ. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là không có ba cạnh của tam giác nào được vẽ. Vì vậy, số đoạn thẳng được vẽ không vượt quá 56. Đáp số: 56