Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AH và K là trung điểm của CH. Chứng minh rằng góc CAK = góc ABI.

Để chứng minh rằng góc CAK = góc ABI, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và các đường trung tuyến. 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác ABC vuông tại A. - Đường cao AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. - I là trung điểm của AH. - K là trung điểm của CH. 2. Tính chất của đường trung tuyến: - Trong tam giác ABC, đường trung tuyến hạ từ đỉnh A đến cạnh BC chia cạnh BC thành hai phần bằng nhau. - Trong tam giác AHC, đường trung tuyến hạ từ đỉnh C đến cạnh AH chia cạnh AH thành hai phần bằng nhau. 3. Xét tam giác AHC: - Vì K là trung điểm của CH, nên đường thẳng AK là đường trung tuyến của tam giác AHC. - Đường trung tuyến AK chia tam giác AHC thành hai tam giác bằng nhau: tam giác AKC và tam giác AKH. 4. Xét tam giác ABH: - Vì I là trung điểm của AH, nên đường thẳng BI là đường trung tuyến của tam giác ABH. - Đường trung tuyến BI chia tam giác ABH thành hai tam giác bằng nhau: tam giác BAI và tam giác BIH. 5. So sánh các góc: - Ta thấy rằng góc CAK nằm trong tam giác AKC và góc ABI nằm trong tam giác BAI. - Vì AK và BI đều là đường trung tuyến, nên tam giác AKC và tam giác BAI có các cạnh tương ứng bằng nhau. - Do đó, góc CAK và góc ABI là các góc tương ứng trong hai tam giác bằng nhau, nên chúng bằng nhau. Kết luận: Góc CAK = góc ABI. Đáp số: Góc CAK = góc ABI.