Tìm min P.

Câu 5: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}}{xy + yz + zx} \) với điều kiện \( x + y + z = 3 \) và \( x, y, z > 0 \), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp bất đẳng thức và các tính chất của các số thực dương. Bước 1: Xác định điều kiện và biến đổi biểu thức - Điều kiện: \( x, y, z > 0 \) và \( x + y + z = 3 \). Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân (AM-GM) cho các số thực dương: \[ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} \geq 3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{z}} = 3 \sqrt[9]{xyz}. \] Bước 3: Tìm giá trị của \( xyz \) Do \( x + y + z = 3 \), theo bất đẳng thức AM-GM: \[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow 1 \geq \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \leq 1. \] Bước 4: Biến đổi biểu thức \( P \) \[ P = \frac{1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}}{xy + yz + zx}. \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z})^2 \leq (1 + 1 + 1)(x + y + z) = 9. \] Do đó: \[ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} \leq 3. \] Bước 5: Kết hợp các kết quả \[ 1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} \leq 4. \] Và do \( xy + yz + zx \leq 3 \) (vì \( x + y + z = 3 \)), ta có: \[ P \geq \frac{4}{3}. \] Bước 6: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất Để kiểm tra giá trị nhỏ nhất, ta xét trường hợp \( x = y = z = 1 \): \[ P = \frac{1 + \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1}}{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1} = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{4}{3}. \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \frac{4}{3} \), đạt được khi \( x = y = z = 1 \).