Giải bài tập giúp tôi

Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác SAD: - Tam giác SAD là tam giác vuông tại D (vì \(SD \perp (ABCD)\)). - Diện tích tam giác SAD: \[ S_{SAD} = \frac{1}{2} \times DA \times SD = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{83} \] 2. Tính độ dài cạnh SA: - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAD: \[ SA = \sqrt{SD^2 + DA^2} = \sqrt{(\sqrt{83})^2 + 3^2} = \sqrt{83 + 9} = \sqrt{92} \] 3. Tính diện tích tam giác SAC: - Tam giác SAC cũng là tam giác vuông tại A (vì \(SD \perp (ABCD)\)). - Diện tích tam giác SAC: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times AC \] - Độ dài AC (đường chéo của hình chữ nhật ABCD): \[ AC = \sqrt{DA^2 + DC^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] - Do đó: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times \sqrt{92} \times 3\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{460} = \frac{3\sqrt{460}}{2} \] 4. Tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng SA: - Gọi khoảng cách này là h. - Diện tích tam giác SAD cũng có thể được tính qua đường cao hạ từ D xuống SA: \[ S_{SAD} = \frac{1}{2} \times SA \times h \] - Từ đây suy ra: \[ \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{83} = \frac{1}{2} \times \sqrt{92} \times h \] \[ 3 \times \sqrt{83} = \sqrt{92} \times h \] \[ h = \frac{3 \times \sqrt{83}}{\sqrt{92}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2\sqrt{23}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2 \times \sqrt{23}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2 \times \sqrt{23}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2 \times \sqrt{23}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2 \times \sqrt{23}} \] 5. Tính khoảng cách giữa SD và AC: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC chính là khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng SA, đã tính ở trên: \[ d = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2 \times \sqrt{23}} \approx 4.50 \] Vậy khoảng cách giữa các đường thẳng SD và AC là khoảng 4.50 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 2. Để tính khoảng cách từ điểm \( A(3;1;2) \) đến mặt phẳng \( (R) \) đi qua điểm \( C(1;4;-1) \) và chứa trục \( Ox \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của mặt phẳng \( (R) \): - Mặt phẳng \( (R) \) đi qua điểm \( C(1;4;-1) \) và chứa trục \( Ox \). - Trục \( Ox \) có vectơ chỉ phương là \( \vec{i} = (1,0,0) \). - Mặt phẳng \( (R) \) cũng đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \). Do đó, mặt phẳng \( (R) \) sẽ có dạng \( y = d \) hoặc \( z = d \). Vì nó đi qua điểm \( C(1;4;-1) \), ta có: \[ y = 4 \quad \text{hoặc} \quad z = -1 \] Mặt phẳng \( (R) \) có phương trình là \( y = 4 \). 2. Tính khoảng cách từ điểm \( A(3;1;2) \) đến mặt phẳng \( y = 4 \): - Khoảng cách từ một điểm \( (x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Mặt phẳng \( y = 4 \) có thể viết lại dưới dạng \( 0x + 1y + 0z - 4 = 0 \). Áp dụng công thức trên: \[ d = \frac{|0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 - 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 - 4|}{1} = \frac{|-3|}{1} = 3 \] 3. Kết luận: Khoảng cách từ điểm \( A(3;1;2) \) đến mặt phẳng \( (R) \) là 3 đơn vị. Đáp số: 3.0 Câu 3. Diện tích của miếng bìa hình vuông là: \[ 13 \times 13 = 169 \text{ cm}^2 \] Diện tích của mỗi phần bị khoét đi là diện tích của một hình parabol. Ta sẽ tính diện tích của một hình parabol và sau đó nhân lên để tìm tổng diện tích của bốn phần bị khoét đi. Trước tiên, ta tính diện tích của một hình parabol. Diện tích của một hình parabol có thể được tính bằng công thức: \[ A = \frac{2}{3} \times \text{Chiều cao} \times \text{Chiều rộng} \] Ở đây, chiều cao của hình parabol là \( OH = 1 \text{ cm} \) và chiều rộng của hình parabol là \( AB = 6 \text{ cm} \). Do đó, diện tích của một hình parabol là: \[ A = \frac{2}{3} \times 1 \times 6 = 4 \text{ cm}^2 \] Tổng diện tích của bốn phần bị khoét đi là: \[ 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \] Diện tích của bề mặt hoa văn là: \[ S = 169 - 16 = 153 \text{ cm}^2 \] Cuối cùng, ta tính \(\frac{S}{13}\): \[ \frac{S}{13} = \frac{153}{13} \approx 11.8 \] Đáp số: \(\frac{S}{13} \approx 11.8\)