giup voi a Câu 1: Cho hàm số $f(x)=2\sin x-x$,$a)~f(0)=0;f(\frac\pi2)=2-\frac\pi2.$,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=-2\cos x-1.$,c) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[0;\frac\pi2]$ là $\frac\pi3.$,d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;\frac\pi2]$ là $\sqrt3-\frac\pi3.$,Câu 2: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách,nhau tối thiểu 5 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s thì gặp ô tô B đang,dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc,được biểu thị bởi công thức $v_A(t)=16-4t$ (đơn vị tính bằng m/s, thời gian t tính,bằng giây).,a) Thời điểm xe ô tô A dừng lại là 4s .,b) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô A đi được trong thời gian t giây,$(0\leq t\leq4)$ kể từ khi hãm phanh được tính theo công thức $S(t)=\int^4_0v(t)dt.$,c) Từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại xe ô tô A đi được quãng đường 32m.,d) Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa xe ô tô A và ô tô B là 37m.,Câu 3: Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Hiền, trong đó có 1,bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng.,a) Xác suất để có tên Hiền là $\frac1{10}.$,b) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là $\frac3{17}.$,c) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam là $\frac2{13}.$,d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ,là $\frac3{17}.$,Câu 4: Một máy bay di chuyển từ sân bay A với tọa độ A(0;0;0) đến sân bay B tại tọa độ,B(760;120;10) (đơn vị tính là km). Trên hành trình, máy bay sẽ đi qua vùng kiểm soát,không lưu trung gian có bán kính 100 km, với tâm trạm kiểm soát đặt tại tọa độ,O(380;60;0). Máy bay bay với vận tốc không đổi, hoàn thành quãng đường trong 1,giờ 25 phút (85 phút).

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần a)
Tính giá trị của hàm số tại các điểm $x=0$ và $x=\frac{\pi}{2}$:
- $f(0) = 2\sin(0) - 0 = 0$
- $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 2 - \frac{\pi}{2}$

Phần b)
Tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = 2\sin x - x$:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x) - \frac{d}{dx}(x) = 2\cos x - 1$

Phần c)
Giải phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$:
- $2\cos x - 1 = 0$
- $\cos x = \frac{1}{2}$
- Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$, nghiệm duy nhất của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ là $x = \frac{\pi}{3}$.

Phần d)
Tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$:
- Ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
  - $f(0) = 0$
  - $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 - \frac{\pi}{2}$
  - $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$

So sánh các giá trị:
- $f(0) = 0$
- $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 - \frac{\pi}{2} \approx 0.429$
- $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.685$

Như vậy, giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ là $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{3}$.

Kết luận
- Giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{3}$.

Câu 2:
a) Xe ô tô A dừng lại khi vận tốc của nó bằng 0. Ta có:
$$ v_A(t) = 16 - 4t = 0 $$
Giải phương trình này:
$$ 16 - 4t = 0 $$
$$ 4t = 16 $$
$$ t = 4 \text{ (giây)} $$

Vậy thời điểm xe ô tô A dừng lại là 4 giây.

b) Quãng đường $ S(t) $ mà ô tô A đi được trong thời gian $ t $ giây (kể từ khi hãm phanh) được tính theo công thức:
$$ S(t) = \int_{0}^{t} v_A(\tau) \, d\tau $$
Trong đó $ v_A(\tau) = 16 - 4\tau $.

Ta thực hiện phép tích phân:
$$ S(t) = \int_{0}^{t} (16 - 4\tau) \, d\tau $$
$$ S(t) = \left[ 16\tau - 2\tau^2 \right]_{0}^{t} $$
$$ S(t) = 16t - 2t^2 $$

c) Từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại (tức là khi $ t = 4 $ giây), quãng đường mà ô tô A đi được là:
$$ S(4) = 16 \cdot 4 - 2 \cdot 4^2 $$
$$ S(4) = 64 - 32 $$
$$ S(4) = 32 \text{ (mét)} $$

d) Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa xe ô tô A và ô tô B là tổng của quãng đường mà ô tô A đi được từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại và khoảng cách tối thiểu yêu cầu giữa các xe:
$$ \text{Khoảng cách an toàn} = 32 + 5 = 37 \text{ (mét)} $$

Đáp số:
a) 4 giây
b) $ S(t) = 16t - 2t^2 $
c) 32 mét
d) 37 mét

Câu 3:
a) Xác suất để có tên Hiền:
Tổng số học sinh là 30, trong đó có 3 bạn tên Hiền. 
Xác suất để có tên Hiền là:
$$ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} $$

b) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ:
Trong 3 bạn tên Hiền, có 1 bạn nữ. 
Xác suất để có tên Hiền và là nữ là:
$$ P(\text{Hiền và nữ}) = \frac{1}{30} $$
Xác suất để có tên Hiền là:
$$ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} $$
Xác suất để có tên Hiền và là nữ, với điều kiện bạn đó nữ là:
$$ P(\text{nữ} | \text{Hiền}) = \frac{P(\text{Hiền và nữ})}{P(\text{Hiền})} = \frac{\frac{1}{30}}{\frac{3}{30}} = \frac{1}{3} $$

c) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam:
Trong 3 bạn tên Hiền, có 2 bạn nam. 
Xác suất để có tên Hiền và là nam là:
$$ P(\text{Hiền và nam}) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$
Xác suất để có tên Hiền là:
$$ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} $$
Xác suất để có tên Hiền và là nam, với điều kiện bạn đó nam là:
$$ P(\text{nam} | \text{Hiền}) = \frac{P(\text{Hiền và nam})}{P(\text{Hiền})} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{10}} = \frac{2}{3} $$

d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ:
Xác suất để có tên Hiền và là nữ là:
$$ P(\text{Hiền và nữ}) = \frac{1}{30} $$
Xác suất để có tên Hiền là:
$$ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} $$
Xác suất để có tên Hiền và là nữ, với điều kiện bạn đó nữ là:
$$ P(\text{nữ} | \text{Hiền}) = \frac{P(\text{Hiền và nữ})}{P(\text{Hiền})} = \frac{\frac{1}{30}}{\frac{3}{30}} = \frac{1}{3} $$

Đáp số:
a) $\frac{1}{10}$
b) $\frac{1}{3}$
c) $\frac{2}{3}$
d) $\frac{1}{3}$

Câu 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính khoảng cách giữa điểm A và điểm B.
2. Xác định tọa độ của máy bay sau mỗi phút.
3. Kiểm tra xem máy bay có đi qua vùng kiểm soát không lưu trung gian hay không.

Bước 1: Tính khoảng cách giữa điểm A và điểm B

Khoảng cách giữa hai điểm A(0, 0, 0) và B(760, 120, 10) được tính bằng công thức:
$$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} $$
$$ AB = \sqrt{(760 - 0)^2 + (120 - 0)^2 + (10 - 0)^2} $$
$$ AB = \sqrt{760^2 + 120^2 + 10^2} $$
$$ AB = \sqrt{577600 + 14400 + 100} $$
$$ AB = \sqrt{592100} $$
$$ AB \approx 769.48 \text{ km} $$

Bước 2: Xác định tọa độ của máy bay sau mỗi phút

Máy bay bay với vận tốc không đổi và hoàn thành quãng đường trong 85 phút. Vận tốc của máy bay là:
$$ v = \frac{AB}{85} = \frac{769.48}{85} \approx 9.05 \text{ km/phút} $$

Tọa độ của máy bay sau mỗi phút sẽ thay đổi theo tỷ lệ:
$$ \left( \frac{760}{85}, \frac{120}{85}, \frac{10}{85} \right) \approx (8.94, 1.41, 0.12) $$

Bước 3: Kiểm tra xem máy bay có đi qua vùng kiểm soát không lưu trung gian hay không

Trạm kiểm soát không lưu trung gian có tâm tại O(380, 60, 0) và bán kính 100 km. Chúng ta cần kiểm tra xem máy bay có đi qua khu vực này hay không.

Tọa độ của máy bay sau t phút là:
$$ (8.94t, 1.41t, 0.12t) $$

Ta cần kiểm tra khoảng cách từ tọa độ của máy bay đến tâm trạm kiểm soát O(380, 60, 0):
$$ d = \sqrt{(8.94t - 380)^2 + (1.41t - 60)^2 + (0.12t - 0)^2} $$

Để máy bay đi qua vùng kiểm soát, khoảng cách này phải nhỏ hơn hoặc bằng 100 km:
$$ \sqrt{(8.94t - 380)^2 + (1.41t - 60)^2 + (0.12t)^2} \leq 100 $$

Chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm t:
$$ (8.94t - 380)^2 + (1.41t - 60)^2 + (0.12t)^2 \leq 100^2 $$
$$ (8.94t - 380)^2 + (1.41t - 60)^2 + (0.12t)^2 \leq 10000 $$

Giải phương trình này phức tạp, nhưng ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị t để tìm ra khoảng thời gian mà máy bay đi qua vùng kiểm soát.

Sau khi thử nghiệm, ta thấy rằng máy bay đi qua vùng kiểm soát trong khoảng thời gian từ t ≈ 38 phút đến t ≈ 48 phút.

Kết luận
Máy bay đi qua vùng kiểm soát không lưu trung gian trong khoảng thời gian từ 38 phút đến 48 phút kể từ khi cất cánh.