giải đề toán1

Câu 1: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty, -2)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-2, -1)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(-1, 1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(1, +\infty)$, hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-2, -1)$ và $(1, +\infty)$. Trong các đáp án được đưa ra: - Đáp án A: $(-2, 2)$ bao gồm cả khoảng $(-2, -1)$ và $(-1, 1)$, trong đó hàm số nghịch biến trên $(-2, -1)$ nhưng đồng biến trên $(-1, 1)$. - Đáp án B: $(-1, 1)$ là khoảng đồng biến. - Đáp án C: $(-2, 1)$ bao gồm cả khoảng $(-2, -1)$ và $(-1, 1)$, trong đó hàm số nghịch biến trên $(-2, -1)$ nhưng đồng biến trên $(-1, 1)$. - Đáp án D: $(-1, +\infty)$ bao gồm cả khoảng $(-1, 1)$ và $(1, +\infty)$, trong đó hàm số đồng biến trên $(-1, 1)$ nhưng nghịch biến trên $(1, +\infty)$. Như vậy, trong các khoảng đã cho, chỉ có khoảng $(-2, -1)$ là khoảng nghịch biến duy nhất nằm trong các đáp án. Vậy đáp án đúng là: $C.~(-2;1).$ Tuy nhiên, cần lưu ý rằng trong các khoảng đã cho, chỉ có khoảng $(-2, -1)$ là khoảng nghịch biến duy nhất nằm trong các đáp án. Do đó, đáp án đúng là: Đáp án: $C.~(-2;1).$ Câu 2: Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_n)\) với \( u_1 = 6 \) và \( u_2 = -12 \), ta sử dụng công thức tính công bội của cấp số nhân: \[ q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \] Áp dụng vào bài toán này: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-12}{6} = -2 \] Vậy công bội \( q \) của cấp số nhân đã cho là \(-2\). Đáp án đúng là: \( B.~q = -2 \). Câu 3: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B từ tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là $(1; 1; -2)$. Tọa độ của điểm B là $(3; -1; 2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là: \[ \overrightarrow{BA} = (1 - 3; 1 - (-1); -2 - 2) = (-2; 2; -4) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{BA}$ là $(-2; 2; -4)$. Đáp án đúng là: D. $(-2; 2; -4)$. Câu 4: Để tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sqrt{e^x - x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$ xung quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích hình phẳng: Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sqrt{e^x - x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$. 2. Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay: Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, $f(x) = \sqrt{e^x - x}$, $a = 1$, $b = 2$. Do đó: \[ V = \pi \int_{1}^{2} (\sqrt{e^x - x})^2 \, dx = \pi \int_{1}^{2} (e^x - x) \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta cần tính tích phân $\int_{1}^{2} (e^x - x) \, dx$: \[ \int_{1}^{2} (e^x - x) \, dx = \left[ e^x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} \] Đánh giá tại các cận: \[ \left[ e^x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \left( e^2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( e^1 - \frac{1^2}{2} \right) \] \[ = \left( e^2 - 2 \right) - \left( e - \frac{1}{2} \right) \] \[ = e^2 - 2 - e + \frac{1}{2} \] \[ = e^2 - e - \frac{3}{2} \] 4. Nhân với $\pi$: \[ V = \pi \left( e^2 - e - \frac{3}{2} \right) \] Vậy thể tích vật thể tròn xoay là: \[ V = \pi \left( e^2 - e - \frac{3}{2} \right) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\pi(e^2 - e - \frac{3}{2})} \] Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Bước 1: Áp dụng tính chất của logarit để biến đổi biểu thức: \[ \log_3(27a) - \log_3(a) \] Bước 2: Sử dụng tính chất \(\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)\): \[ \log_3(27a) = \log_3(27) + \log_3(a) \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \log_3(27) + \log_3(a) - \log_3(a) \] Bước 4: Các logarit của \(a\) triệt tiêu nhau: \[ \log_3(27) \] Bước 5: Biết rằng \(27 = 3^3\), nên: \[ \log_3(27) = \log_3(3^3) = 3 \] Vậy, \(\log_3(27a) - \log_3(a) = 3\). Do đó, đáp án đúng là: C. 3. Câu 6: Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số \(\frac{x-1}{4} = \frac{-y}{2} = \frac{z+2}{-6}\), ta cần tìm các số \(a\), \(b\), và \(c\) sao cho chúng tương ứng với các hệ số ở mẫu của phương trình tham số. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \frac{x-1}{4} = \frac{-y}{2} = \frac{z+2}{-6} \] Từ đây, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu của phương trình tham số là 4, -2, và -6. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số này. Ta có: \[ \overrightarrow{u} = (4, -2, -6) \] Bây giờ, ta kiểm tra các lựa chọn đã cho để xác định vectơ chỉ phương đúng đắn: A. \(\overrightarrow{u_2} = (2, -1, 3)\) B. \(\overrightarrow{u_1} = (4, 2, -6)\) C. \(\overrightarrow{u_3} = (-2, 1, 3)\) D. \(\overrightarrow{u_4} = (1, 0, 2)\) So sánh với vectơ chỉ phương \((4, -2, -6)\): - \(\overrightarrow{u_2} = (2, -1, 3)\) không phải là bội của \((4, -2, -6)\). - \(\overrightarrow{u_1} = (4, 2, -6)\) không phải là bội của \((4, -2, -6)\). - \(\overrightarrow{u_3} = (-2, 1, 3)\) là bội của \((4, -2, -6)\) vì \((-2, 1, 3) = -\frac{1}{2}(4, -2, -6)\). - \(\overrightarrow{u_4} = (1, 0, 2)\) không phải là bội của \((4, -2, -6)\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u_3} = (-2, 1, 3)\). Đáp án đúng là: C. \(\overrightarrow{u_3} = (-2, 1, 3)\). Câu 7: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{2x-3}{x+1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x-3}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \infty \), các phân số $\frac{3}{x}$ và $\frac{1}{x}$ sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 \] Tương tự, ta cũng có: \[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x-3}{x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 \] 2. Kết luận: Vì giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \) đều bằng 2, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình \( y = 2 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~y=2. \] Câu 8: Phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=5$ được viết dưới dạng: \[ (x - 0)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 5^2 \] Từ đó ta có phương trình của mặt cầu (S): \[ x^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 25 \] Vậy phương trình của mặt cầu (S) là: \[ A.~x^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 25 \]