Giai chinh xac giuo em

Câu 1: Công bội của cấp số nhân $(u_n)$ là $q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2}{1} = 2$. Vậy công bội của cấp số nhân đã cho là $q = 2$. Đáp án đúng là: $B.~q=2.$ Câu 2. Để xác định hàm số nào nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, ta sẽ kiểm tra tính chất của từng hàm số đã cho. A. $y = \ln x$ - Hàm số này chỉ xác định trên $(0; +\infty)$ và đồng biến trên khoảng này. Do đó, nó không nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$. B. $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ - Hàm số này chỉ xác định trên $(0; +\infty)$ và nghịch biến trên khoảng này. Do đó, nó không nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$. C. $y = \left(\frac{\pi}{6}\right)^x$ - Đây là hàm số mũ với cơ số $\frac{\pi}{6}$, mà $\frac{\pi}{6} < 1$. Hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. Do đó, hàm số này nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$. D. $y = e^x$ - Đây là hàm số mũ với cơ số $e$, mà $e > 1$. Hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 là hàm đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. Do đó, nó không nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số $y = \left(\frac{\pi}{6}\right)^x$ là nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là: C. $y = \left(\frac{\pi}{6}\right)^x$. Câu 3. Để xác định khoảng thời gian mà số người bị nhiễm bệnh tăng, ta cần tìm khoảng thời gian mà đạo hàm của hàm số \( N(t) \) là dương. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( N(t) \). \[ N'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 12t^2) = -3t^2 + 24t \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số \( N(t) \) bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ N'(t) = -3t^2 + 24t = 0 \] \[ -3t(t - 8) = 0 \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ t = 0 \quad \text{và} \quad t = 8 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm \( N'(t) \) trên các khoảng giữa các điểm cực trị. - Trên khoảng \( (0, 8) \): Chọn \( t = 4 \): \[ N'(4) = -3(4)^2 + 24(4) = -48 + 96 = 48 > 0 \] Vậy \( N'(t) > 0 \) trên khoảng \( (0, 8) \). - Trên khoảng \( (8, 12) \): Chọn \( t = 10 \): \[ N'(10) = -3(10)^2 + 24(10) = -300 + 240 = -60 < 0 \] Vậy \( N'(t) < 0 \) trên khoảng \( (8, 12) \). Bước 4: Kết luận khoảng thời gian mà số người bị nhiễm bệnh tăng. Số người bị nhiễm bệnh tăng khi đạo hàm \( N'(t) \) dương, tức là trên khoảng \( (0, 8) \). Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(0;8) \] Câu 4. Để xác định đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. 1. Kiểm tra hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 4 \): - Hàm số này là một đa thức bậc ba. - Đồ thị của hàm số bậc ba thường có dạng uốn lượn và có thể có điểm cực đại và cực tiểu. - Tuy nhiên, đồ thị của hàm số này không phù hợp với đồ thị trong hình vì nó có dạng uốn lượn và không có điểm cực đại hoặc cực tiểu rõ ràng như trong hình. 2. Kiểm tra hàm số \( y = x^3 - 4 \): - Hàm số này cũng là một đa thức bậc ba. - Đồ thị của hàm số này cũng có dạng uốn lượn và có thể có điểm cực đại và cực tiểu. - Tuy nhiên, đồ thị của hàm số này không phù hợp với đồ thị trong hình vì nó có dạng uốn lượn và không có điểm cực đại hoặc cực tiểu rõ ràng như trong hình. 3. Kiểm tra hàm số \( y = x^2 - 4 \): - Hàm số này là một đa thức bậc hai. - Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. - Parabol này mở lên và có đỉnh tại điểm (0, -4). - Đồ thị của hàm số này phù hợp với đồ thị trong hình vì nó có dạng parabol mở lên và có đỉnh tại điểm (0, -4). 4. Kiểm tra hàm số \( y = -x^2 - 4 \): - Hàm số này cũng là một đa thức bậc hai. - Đồ thị của hàm số này là một parabol. - Parabol này mở xuống và có đỉnh tại điểm (0, -4). - Đồ thị của hàm số này không phù hợp với đồ thị trong hình vì nó có dạng parabol mở xuống. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng đồ thị trong hình là đồ thị của hàm số \( y = x^2 - 4 \). Đáp án: C. \( y = x^2 - 4 \) Câu 5. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 6 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 6 \): \[ \int 6 \, dx = 6x \] Bước 3: Cộng lại các kết quả trên và thêm hằng số \( C \): \[ \int (2x + 6) \, dx = x^2 + 6x + C \] Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 6 \) là: \[ x^2 + 6x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~x^2 + 6x + C \] Câu 6. Để tính tích phân $\int^3_1\frac{x+2}{x}\,dx$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích tích phân: \[ \int^3_1\frac{x+2}{x}\,dx = \int^3_1 \left(1 + \frac{2}{x}\right)\,dx \] 2. Tính từng phần tích phân: \[ \int^3_1 \left(1 + \frac{2}{x}\right)\,dx = \int^3_1 1\,dx + \int^3_1 \frac{2}{x}\,dx \] 3. Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int^3_1 1\,dx = [x]^3_1 = 3 - 1 = 2 \] \[ \int^3_1 \frac{2}{x}\,dx = 2 \int^3_1 \frac{1}{x}\,dx = 2 [\ln|x|]^3_1 = 2 (\ln 3 - \ln 1) = 2 \ln 3 \] 4. Gộp kết quả lại: \[ \int^3_1 \left(1 + \frac{2}{x}\right)\,dx = 2 + 2 \ln 3 \] Do đó, ta có: \[ \int^3_1 \frac{x+2}{x}\,dx = 2 + 2 \ln 3 \] So sánh với dạng $a + b \ln c$, ta nhận thấy: \[ a = 2, \quad b = 2, \quad c = 3 \] 5. Tính tổng $S = a + b + c$: \[ S = 2 + 2 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~S=7} \] Câu 7. Để tìm giá trị của sin của góc nhị diện $[A^, BD, A]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. - Ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng qua đỉnh A và chứa đường thẳng BD. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng qua A và BD sẽ cắt mặt phẳng qua A và A'D' theo đường thẳng BD. - Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng BD. 3. Tìm góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến BD và nằm trong mỗi mặt phẳng tương ứng. - Chọn đường thẳng AA' (vuông góc với mặt đáy ABCD) và đường thẳng A'D' (vuông góc với BD). 4. Tính góc giữa hai đường thẳng AA' và A'D': - Xét tam giác A'AD, đây là tam giác đều với cạnh bằng a. - Đường thẳng A'D' tạo với mặt đáy ABCD một góc 45°. - Đường thẳng AA' vuông góc với mặt đáy ABCD. 5. Tính góc giữa hai đường thẳng AA' và A'D': - Gọi góc giữa AA' và A'D' là $\theta$. - Trong tam giác A'AD, ta có: \[ \cos(\theta) = \frac{AA'}{A'D'} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] - Do đó: \[ \sin(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 6. Tính góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng AA' và A'D', do đó: \[ \sin(\text{góc nhị diện}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 7. Kiểm tra lại đáp án: - Đáp án đúng là $\frac{\sqrt{6}}{3}$, vì: \[ \sin(\text{góc nhị diện}) = \frac{\sqrt{6}}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{\sqrt{6}}{3}. \] Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$. Ta cần tìm tọa độ của $\overrightarrow{a}$. Tọa độ của $\overrightarrow{a}$ được xác định dựa trên các thành phần của nó theo các đơn vị vectơ cơ bản $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, và $\overrightarrow{k}$. - Thành phần theo $\overrightarrow{i}$ là -1. - Thành phần theo $\overrightarrow{j}$ là 2. - Thành phần theo $\overrightarrow{k}$ là -3. Do đó, tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là (-1, 2, -3). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(-1;2;-3). \] Câu 9. Để xác định phương trình tham số của đường thẳng Oy trong không gian Oxyz, chúng ta cần hiểu rằng đường thẳng Oy nằm trên trục y và đi qua gốc tọa độ O(0,0,0). Phương trình tham số của đường thẳng Oy sẽ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{array} \right. \] với \( t \in \mathbb{R} \). Giải thích từng bước: 1. Đường thẳng Oy nằm trên trục y, do đó tọa độ x và z luôn bằng 0. 2. Tọa độ y thay đổi theo tham số \( t \), vì vậy \( y = t \). Do đó, phương án đúng là: \[ B.\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{array} \right. \] Đáp án: B. Câu 10. Để tính thể tích của lăng trụ tam giác đều, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ. 1. Tính diện tích đáy: - Đáy của lăng trụ là tam giác đều với độ dài mỗi cạnh là 3. - Diện tích của tam giác đều được tính bằng công thức: \[ S_{\text{đáy}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] ở đây \( a = 3 \): \[ S_{\text{đáy}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \] 2. Tính chiều cao của lăng trụ: - Chiều cao của lăng trụ tam giác đều là khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt đáy đối diện. - Vì lăng trụ đều, chiều cao của lăng trụ sẽ bằng độ dài cạnh của nó, tức là 3. 3. Tính thể tích của lăng trụ: - Thể tích của lăng trụ được tính bằng công thức: \[ V = S_{\text{đáy}} \times h \] ở đây \( S_{\text{đáy}} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \) và \( h = 3 \): \[ V = \frac{9\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{27\sqrt{3}}{4} \] Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là: \[ \boxed{\frac{27\sqrt{3}}{4}} \] Đáp án đúng là: \( A.~\frac{27\sqrt{3}}{4} \). Câu 11. Để khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông số cơ bản - Số lượng học sinh trong mẫu: \( n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42 \) Bước 2: Tính tần suất tương đối của mỗi nhóm Tần suất tương đối của mỗi nhóm được tính bằng cách chia số học sinh trong nhóm đó cho tổng số học sinh. \[ f_1 = \frac{5}{42} \approx 0.119 \\ f_2 = \frac{9}{42} \approx 0.214 \\ f_3 = \frac{12}{42} \approx 0.286 \\ f_4 = \frac{10}{42} \approx 0.238 \\ f_5 = \frac{6}{42} \approx 0.143 \\ \] Bước 3: Tính trung vị Trung vị là giá trị ở giữa của dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Với \( n = 42 \), trung vị nằm ở vị trí \(\frac{42 + 1}{2} = 21.5\). Nhìn vào tần suất, ta thấy: - Nhóm [0; 20) có 5 học sinh. - Nhóm [20; 40) có 9 học sinh, tổng là 14 học sinh. - Nhóm [40; 60) có 12 học sinh, tổng là 26 học sinh. Vậy trung vị nằm trong nhóm [40; 60). Bước 4: Tính trung bình cộng Trung bình cộng được tính bằng cách lấy tổng thời gian tập thể dục của tất cả học sinh chia cho số lượng học sinh. \[ \text{Giá trị trung tâm của nhóm} = \frac{(0+20)}{2}, \frac{(20+40)}{2}, \frac{(40+60)}{2}, \frac{(60+80)}{2}, \frac{(80+100)}{2} \] \[ = 10, 30, 50, 70, 90 \] \[ \text{Trung bình cộng} = \frac{5 \times 10 + 9 \times 30 + 12 \times 50 + 10 \times 70 + 6 \times 90}{42} \] \[ = \frac{50 + 270 + 600 + 700 + 540}{42} \] \[ = \frac{2160}{42} \approx 51.43 \text{ phút} \] Bước 5: Tính phương sai và độ lệch chuẩn Phương sai (\(s^2\)) và độ lệch chuẩn (\(s\)) được tính dựa trên công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{1} \] \[ s = \sqrt{s^2} \] Trong đó, \(x_i\) là giá trị trung tâm của mỗi nhóm, \(\bar{x}\) là trung bình cộng. \[ s^2 = \frac{5 \times (10 - 51.43)^2 + 9 \times (30 - 51.43)^2 + 12 \times (50 - 51.43)^2 + 10 \times (70 - 51.43)^2 + 6 \times (90 - 51.43)^2}{42} \] \[ s^2 = \frac{5 \times (-41.43)^2 + 9 \times (-21.43)^2 + 12 \times (-1.43)^2 + 10 \times (18.57)^2 + 6 \times (38.57)^2}{42} \] \[ s^2 = \frac{5 \times 1716.4449 + 9 \times 459.2449 + 12 \times 2.0449 + 10 \times 344.8449 + 6 \times 1487.4449}{42} \] \[ s^2 = \frac{8582.2245 + 4133.2041 + 24.5388 + 3448.449 + 8924.6694}{42} \] \[ s^2 = \frac{25013.0858}{42} \approx 595.55 \] \[ s = \sqrt{595.55} \approx 24.40 \] Kết luận - Trung bình cộng: 51.43 phút - Trung vị: 50 phút - Phương sai: 595.55 - Độ lệch chuẩn: 24.40 Như vậy, thời gian trung bình học sinh khối 11 tập thể dục là khoảng 51.43 phút, với độ lệch chuẩn là 24.40 phút.