giải bài đạo hàm

Câu 12. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề A: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f(x) = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - x - 1)'(x - 2) - (x^2 - x - 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x - 1)}{(x - 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - x + 2 - x^2 + x + 1}{(x - 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} \] Do đó, mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[3;5]$: \[ f(x) = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \] Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và trong đoạn: \[ f(3) = \frac{3^2 - 3 - 1}{3 - 2} = \frac{9 - 3 - 1}{1} = 5 \] \[ f(5) = \frac{5^2 - 5 - 1}{5 - 2} = \frac{25 - 5 - 1}{3} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[3;5]$ là $\frac{19}{3}$, không phải 5. Mệnh đề B sai. Mệnh đề C: Xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ để tìm cực đại và cực tiểu: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2} \] Xét dấu của $f'(x)$: - $f'(x) > 0$ khi $(x - 1)(x - 3) > 0$, tức là $x < 1$ hoặc $x > 3$ - $f'(x) < 0$ khi $(x - 1)(x - 3) < 0$, tức là $1 < x < 3$ Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và đạt cực tiểu tại $x = 3$. Mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số: - $f'(x) > 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 3$ - $f'(x) < 0$ khi $1 < x < 3$ Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$. Mệnh đề D đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là B. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[3;5]$ không phải là 5. Đáp án: B.