giải chi tiết dễ hiểu

Câu 1. Muốn tìm nguyên hàm của $\int 7e^x dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số mũ $e^x$. Công thức nguyên hàm của $e^x$ là: \[ \int e^x dx = e^x + C \] Khi nhân thêm hằng số 7 vào, ta có: \[ \int 7e^x dx = 7 \int e^x dx = 7(e^x + C) = 7e^x + C \] Do đó, nguyên hàm của $\int 7e^x dx$ là $7e^x + C$. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~7e^x + C \] Câu 2. Để tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \), chúng ta cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \) từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \). Lý do là vì diện tích luôn là một giá trị dương, và nếu hàm số \( f(x) \) có các đoạn âm và dương trong khoảng từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \), tích phân của \( f(x) \) trực tiếp sẽ không cho kết quả chính xác về diện tích. Do đó, chúng ta cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối của \( f(x) \). Vậy đáp án đúng là: \[ A.~S = \int^1_{-1} |f(x)| dx. \] Lập luận từng bước: 1. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \) được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \) từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \). 2. Tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \) đảm bảo rằng diện tích luôn là một giá trị dương, bất kể hàm số \( f(x) \) có các đoạn âm và dương trong khoảng từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S = \int^1_{-1} |f(x)| dx. \] Câu 3. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tìm trung bình cộng Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ \( i \). - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ \( i \). Ta lập bảng để tính toán: | Nhóm | Giới hạn | Số người dự thi (\( f_i \)) | Giá trị trung tâm (\( x_i \)) | \( f_i x_i \) | |------|----------|---------------------------|------------------------------|---------------| | I | [0, 4,5) | 4 | 2,25 | 9 | | II | [4,5, 11,5) | 20 | 8 | 160 | | III | [11,5, 18,5) | 3 | 15 | 45 | | IV | [18,5, 22) | 9 | 20,25 | 182,25 | Tổng số người dự thi: \[ \sum f_i = 4 + 20 + 3 + 9 = 36 \] Tổng \( f_i x_i \): \[ \sum f_i x_i = 9 + 160 + 45 + 182,25 = 396,25 \] Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{396,25}{36} \approx 11,01 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \( S^2 \) được tính theo công thức: \[ S^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i} \] Ta lập bảng để tính toán: | Nhóm | \( x_i \) | \( x_i - \bar{x} \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) | \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \) | |------|-----------|---------------------|-------------------------|----------------------------| | I | 2,25 | 2,25 - 11,01 = -8,76 | (-8,76)^2 = 76,7376 | 4 × 76,7376 = 306,9504 | | II | 8 | 8 - 11,01 = -3,01 | (-3,01)^2 = 9,0601 | 20 × 9,0601 = 181,202 | | III | 15 | 15 - 11,01 = 3,99 | (3,99)^2 = 15,9201 | 3 × 15,9201 = 47,7603 | | IV | 20,25 | 20,25 - 11,01 = 9,24 | (9,24)^2 = 85,3776 | 9 × 85,3776 = 768,3984 | Tổng \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = 306,9504 + 181,202 + 47,7603 + 768,3984 = 1304,3111 \] Phương sai: \[ S^2 = \frac{1304,3111}{36} \approx 36,23 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn \( S \) được tính theo công thức: \[ S = \sqrt{S^2} \] \[ S = \sqrt{36,23} \approx 6,02 \] Do đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 6,02. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, gần đúng nhất là 5,24. Đáp án: B. 5,24 Câu 4. Để tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $B(-7;5;-4)$ và nhận vectơ $\overrightarrow u=(4;5;1)$ làm véctơ chỉ phương, ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \begin{cases} x = -7 + 4t \\ y = 5 + 5t \\ z = -4 + t \end{cases} \] Từ đó, ta có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng tỉ lệ: \[ \frac{x + 7}{4} = \frac{y - 5}{5} = \frac{z + 4}{1} \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án B đúng: \[ B.~\frac{x+7}{4} = \frac{y-5}{5} = \frac{z+4}{1} \] Vậy phương trình của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \boxed{\frac{x+7}{4} = \frac{y-5}{5} = \frac{z+4}{1}} \] Câu 5. Để giải phương trình $6^{x+4} = \frac{1}{6}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{6}$ có thể viết thành $6^{-1}$. Do đó, phương trình trở thành: \[ 6^{x+4} = 6^{-1} \] 2. So sánh các mũ số: Vì hai vế đều có cùng cơ số là 6, nên ta có thể so sánh các mũ số: \[ x + 4 = -1 \] 3. Giải phương trình để tìm giá trị của \( x \): \[ x + 4 = -1 \\ x = -1 - 4 \\ x = -5 \] Như vậy, nghiệm của phương trình là \( x = -5 \). Đáp án: \( x = -5 \) Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án đúng là \( x = -5 \). Do đó, có thể có lỗi trong việc cung cấp các lựa chọn hoặc trong quá trình giải phương trình. Câu 6. Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x - 3}{2x + 3} \), ta làm như sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{3x - 3}{2x + 3} \) có nghĩa là \( 2x + 3 \neq 0 \). Giải phương trình \( 2x + 3 = 0 \): \[ 2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} \] Vậy ĐKXĐ là \( x \neq -\frac{3}{2} \). 2. Xác định đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{3x - 3}{2x + 3} \) là đường thẳng \( x = -\frac{3}{2} \), vì khi \( x \) tiến đến \( -\frac{3}{2} \), mẫu số \( 2x + 3 \) tiến đến 0, làm cho giá trị của hàm số tiến đến vô cùng. Vậy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x - 3}{2x + 3} \) là: \[ x = -\frac{3}{2} \] Đáp án đúng là: \( B.~x = -\frac{3}{2} \). Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_5(x + 12) > 4$, ta cần đảm bảo rằng $x + 12 > 0$. Điều này dẫn đến: \[ x > -12 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_5(x + 12) > 4$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương: \[ x + 12 > 5^4 \] - Tính $5^4$: \[ 5^4 = 625 \] - Do đó, ta có: \[ x + 12 > 625 \] - Giải phương trình này: \[ x > 625 - 12 \] \[ x > 613 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Chúng ta đã xác định $x > -12$. Kết hợp với điều kiện $x > 613$, ta thấy rằng $x > 613$ đã bao gồm điều kiện $x > -12$. 4. Kết luận tập nghiệm: - Tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (613; +\infty) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~S = (613; +\infty) \]