Tính thể tích.

Câu 5: Để tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, ta cần tính tích phân của diện tích các thiết diện parabol theo trục \(x\). Bước 1: Xác định phương trình parabol Thiết diện parabol có chiều cao \(h = 3 - \frac{2}{5}x\) và độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao, tức là \(2h\). Phương trình parabol có dạng \(y = a(z - z_0)^2 + h\). Do parabol đối xứng qua trục \(z\), ta có: - Đỉnh parabol nằm tại \(z = 0\). - Độ dài cạnh đáy là \(2h\), nên từ \(-h\) đến \(h\). Bước 2: Tính diện tích thiết diện Diện tích của parabol là: \[ A(x) = \frac{2}{3} \cdot \text{độ dài cạnh đáy} \cdot \text{chiều cao} = \frac{2}{3} \cdot 2h \cdot h = \frac{4}{3}h^2 \] Thay \(h = 3 - \frac{2}{5}x\) vào, ta có: \[ A(x) = \frac{4}{3} \left(3 - \frac{2}{5}x\right)^2 \] Bước 3: Tính thể tích bằng tích phân Thể tích \(V\) của đường hầm được tính bằng tích phân: \[ V = \int_{0}^{5} A(x) \, dx = \int_{0}^{5} \frac{4}{3} \left(3 - \frac{2}{5}x\right)^2 \, dx \] Bước 4: Tính tích phân Tính tích phân: \[ V = \frac{4}{3} \int_{0}^{5} \left(3 - \frac{2}{5}x\right)^2 \, dx \] Đặt \(u = 3 - \frac{2}{5}x\), suy ra \(du = -\frac{2}{5}dx\) hay \(dx = -\frac{5}{2}du\). Khi \(x = 0\), \(u = 3\); khi \(x = 5\), \(u = 1\). Thay vào tích phân: \[ V = \frac{4}{3} \int_{3}^{1} u^2 \left(-\frac{5}{2}\right) \, du = \frac{10}{3} \int_{1}^{3} u^2 \, du \] Tính tích phân: \[ \int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} \] Thay cận: \[ V = \frac{10}{3} \left[\frac{u^3}{3}\right]_{1}^{3} = \frac{10}{3} \left(\frac{27}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} \cdot \frac{26}{3} = \frac{260}{9} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ V \approx 29 \, \text{cm}^3 \] Vậy thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình là khoảng \(29 \, \text{cm}^3\).