Trả lời câu hỏi

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định vectơ nào vuông góc với $\overrightarrow{BD}$. 1. Xác định tính chất của hình chóp: - Đáy $ABCD$ là hình vuông, do đó các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ đều vuông góc với nhau. - $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, do đó $SA$ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng này, bao gồm cả $\overrightarrow{BD}$. 2. Xét các vectơ trong các đáp án: - $A.~\overrightarrow{SB}$: Vectơ này không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, không có thông tin nào cho thấy nó vuông góc với $\overrightarrow{BD}$. - $B.~\overrightarrow{CD}$: Vectơ này nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và không vuông góc với $\overrightarrow{BD}$ vì $BD$ là đường chéo của hình vuông. - $C.~\overrightarrow{SC}$: Vectơ này không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, không có thông tin nào cho thấy nó vuông góc với $\overrightarrow{BD}$. - D. ID: Không có thông tin cụ thể. 3. Kết luận: - Vectơ $\overrightarrow{BD}$ vuông góc với $\overrightarrow{SA}$ vì $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, nhưng không có trong các đáp án. - Do đó, không có đáp án nào trong các lựa chọn là đúng. Vậy, không có vectơ nào trong các đáp án đã cho vuông góc với $\overrightarrow{BD}$. Câu 2: Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( y = e^t + \cos x \), chúng ta cần tính tích phân bất định của hàm số này. 1. Tính tích phân của \( e^t \): \[ \int e^t \, dt = e^t + C_1 \] Trong đó \( C_1 \) là hằng số tích phân. 2. Tính tích phân của \( \cos x \): \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_2 \] Trong đó \( C_2 \) là hằng số tích phân. 3. Kết hợp hai kết quả trên, ta có: \[ \int (e^t + \cos x) \, dt = e^t + \sin x + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Do đó, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \( y = e^t + \cos x \) là: \[ e^t + \sin x + C \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~e^t + \sin x + C} \] Câu 3: Số cách xếp ba bạn A, B, C vào 5 chiếc ghế đó sao cho mỗi bạn ngồi một ghế là: - Bạn A có 5 cách chọn ghế ngồi. - Bạn B có 4 cách chọn ghế ngồi (sau khi bạn A đã ngồi). - Bạn C có 3 cách chọn ghế ngồi (sau khi bạn A và B đã ngồi). Vậy tổng số cách xếp là: \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \) Đáp án đúng là: A. 60 Câu 4: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;-2;0)$ và $C(0;0;3)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Gọi $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Ta có: \[ \vec{AB} = B - A = (0 - 1, -2 - 0, 0 - 0) = (-1, -2, 0) \] \[ \vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3) \] Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng là tích có hướng của $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 3 - (-2) \cdot 3) - \mathbf{j}((-1) \cdot 3 - 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) \] \[ = \mathbf{i}(6) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(-2) \] \[ = (6, 3, -2) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, với $\vec{n} = (a, b, c) = (6, 3, -2)$. Thay tọa độ điểm $A(1, 0, 0)$ vào phương trình để tìm $d$: \[ 6 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + d = 0 \Rightarrow 6 + d = 0 \Rightarrow d = -6 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 6x + 3y - 2z - 6 = 0 \] 3. Kiểm tra các đáp án: Chia cả hai vế của phương trình cho 6: \[ x + \frac{y}{2} - \frac{z}{3} = 1 \] So sánh với các đáp án, ta thấy phương trình này tương đương với đáp án $D$: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$. Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là đáp án $D$. Câu 5: Phương trình đã cho là \(3^{x+12} = 27\). Trước tiên, ta nhận thấy rằng \(27\) có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số \(3\): \[ 27 = 3^3 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 3^{x+12} = 3^3 \] Vì hai vế của phương trình đều là lũy thừa cơ số \(3\), ta có thể so sánh các số mũ: \[ x + 12 = 3 \] Giải phương trình này để tìm \(x\): \[ x = 3 - 12 \] \[ x = -9 \] Tuy nhiên, trong các đáp án đưa ra, không có đáp án nào là \(x = -9\). Do đó, có vẻ như có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc đáp án. Nhưng nếu dựa vào các đáp án đã cho, ta sẽ kiểm tra lại từng đáp án: - Với \(x = -1\): \[ 3^{-1 + 12} = 3^{11} \neq 27 \] - Với \(x = 3\): \[ 3^{3 + 12} = 3^{15} \neq 27 \] - Với \(x = 2\): \[ 3^{2 + 12} = 3^{14} \neq 27 \] - Với \(x = 1\): \[ 3^{1 + 12} = 3^{13} \neq 27 \] Như vậy, không có đáp án nào trong các đáp án đưa ra thỏa mãn phương trình ban đầu. Vì vậy, có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc đáp án. Tuy nhiên, theo lập luận trên, không có đáp án nào đúng. Câu 6: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính giá trị trung bình (\(\bar{x}\)) của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai (\(s^2\)) của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn (\(s\)) từ phương sai. Bước 1: Tính giá trị trung bình (\(\bar{x}\)) Giá trị trung bình của mỗi khoảng: - Khoảng [4:6): \( \frac{4 + 6}{2} = 5 \) - Khoảng [6:8): \( \frac{6 + 8}{2} = 7 \) - Khoảng [8:10): \( \frac{8 + 10}{2} = 9 \) - Khoảng [10:12): \( \frac{10 + 12}{2} = 11 \) - Khoảng [12:14): \( \frac{12 + 14}{2} = 13 \) Tổng số quả: \( 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50 \) Giá trị trung bình: \[ \bar{x} = \frac{(5 \times 6) + (7 \times 12) + (9 \times 19) + (11 \times 9) + (13 \times 4)}{50} \] \[ \bar{x} = \frac{30 + 84 + 171 + 99 + 52}{50} = \frac{436}{50} = 8.72 \] Bước 2: Tính phương sai (\(s^2\)) Phương sai được tính bằng công thức: \[ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot f_i}{n} \] Trong đó: - \(x_i\) là giá trị trung bình của mỗi khoảng. - \(f_i\) là tần số của mỗi khoảng. - \(n\) là tổng số quả. Tính từng phần: \[ (5 - 8.72)^2 \times 6 = (-3.72)^2 \times 6 = 13.8384 \times 6 = 83.0304 \] \[ (7 - 8.72)^2 \times 12 = (-1.72)^2 \times 12 = 2.9584 \times 12 = 35.5008 \] \[ (9 - 8.72)^2 \times 19 = (0.28)^2 \times 19 = 0.0784 \times 19 = 1.4896 \] \[ (11 - 8.72)^2 \times 9 = (2.28)^2 \times 9 = 5.1984 \times 9 = 46.7856 \] \[ (13 - 8.72)^2 \times 4 = (4.28)^2 \times 4 = 18.3184 \times 4 = 73.2736 \] Tổng: \[ 83.0304 + 35.5008 + 1.4896 + 46.7856 + 73.2736 = 240.08 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{240.08}{50} = 4.8016 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (\(s\)) Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{4.8016} \approx 2.19 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là 2.19 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp án: D. 2,19. Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng sau đó đều bằng số hạng trước nó nhân với công bội \( q \). Bước 1: Xác định công bội \( q \) Ta biết: \[ u_1 = -3 \] \[ u_2 = 6 \] Công bội \( q \) được tính bằng cách chia số hạng thứ hai cho số hạng thứ nhất: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{6}{-3} = -2 \] Bước 2: Tìm giá trị của \( u_1 \) Theo đề bài, \( u_1 \) đã được cho là \( -3 \). Tuy nhiên, để kiểm tra lại, ta có thể sử dụng công bội \( q \) để tìm \( u_1 \): \[ u_2 = u_1 \cdot q \] \[ 6 = u_1 \cdot (-2) \] \[ u_1 = \frac{6}{-2} = -3 \] Như vậy, giá trị của \( u_1 \) là \( -3 \). Đáp án đúng là: A. 3. (Sai) B. -18. (Sai) C. -12. (Sai) D. 15. (Sai) Do đó, đáp án chính xác là: \[ \boxed{-3} \] Câu 8: Để xác định điểm nào thuộc mặt cầu \((S)\), ta cần kiểm tra xem điểm đó có thỏa mãn phương trình của mặt cầu hay không. Phương trình của mặt cầu \((S)\) là: \[ (x+1)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9 \] Ta sẽ kiểm tra từng điểm: Điểm \(M(1; -1; 2)\): - Tính \((x+1)^2 = (1+1)^2 = 2^2 = 4\) - Tính \((y-1)^2 = (-1-1)^2 = (-2)^2 = 4\) - Tính \((z+2)^2 = (2+2)^2 = 4^2 = 16\) Tổng: \(4 + 4 + 16 = 24 \neq 9\) Vậy điểm \(M\) không thuộc mặt cầu \((S)\). Điểm \(P(-3; -1; -1)\): - Tính \((x+1)^2 = (-3+1)^2 = (-2)^2 = 4\) - Tính \((y-1)^2 = (-1-1)^2 = (-2)^2 = 4\) - Tính \((z+2)^2 = (-1+2)^2 = 1^2 = 1\) Tổng: \(4 + 4 + 1 = 9\) Vậy điểm \(P\) thuộc mặt cầu \((S)\). Điểm \(N(-1; 1; -2)\): - Tính \((x+1)^2 = (-1+1)^2 = 0^2 = 0\) - Tính \((y-1)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0\) - Tính \((z+2)^2 = (-2+2)^2 = 0^2 = 0\) Tổng: \(0 + 0 + 0 = 0 \neq 9\) Vậy điểm \(N\) không thuộc mặt cầu \((S)\). Điểm \(Q(3; 1; 1)\): - Tính \((x+1)^2 = (3+1)^2 = 4^2 = 16\) - Tính \((y-1)^2 = (1-1)^2 = 0^2 = 0\) - Tính \((z+2)^2 = (1+2)^2 = 3^2 = 9\) Tổng: \(16 + 0 + 9 = 25 \neq 9\) Vậy điểm \(Q\) không thuộc mặt cầu \((S)\). Kết luận: Điểm \(P(-3; -1; -1)\) thuộc mặt cầu \((S)\). Câu 9: Để tính thể tích của khối lăng trụ đứng, ta sử dụng công thức: \[ V = S_{\text{đáy}} \times h \] trong đó \( S_{\text{đáy}} \) là diện tích đáy và \( h \) là chiều cao của lăng trụ. Theo đề bài, diện tích đáy của khối lăng trụ là \( S_{\text{đáy}} = 3a^2 \) và độ dài cạnh bên (cũng chính là chiều cao của lăng trụ đứng) là \( h = 2a \). Thay các giá trị này vào công thức tính thể tích, ta có: \[ V = 3a^2 \times 2a = 6a^3 \] Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là \( 6a^3 \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~6a^3 \).