Trả lời câu hỏi

a) Đúng vì tổng số người được khảo sát là 10000 người, trong đó có 2250 người hút thuốc lá nên xác suất người được chọn là người hút thuốc lá là $\frac{2250}{10000}=0,225=22,5%.$ b) Sai vì xác suất để người được chọn bị ung thư phổi là $\frac{1400}{10000}=0,14=14%.$ c) Đúng vì xác suất để người được chọn bị ung thư phổi và là người hút thuốc lá là $\frac{1124}{10000}=0,1124=11,24%.$ Xác suất để người được chọn bị ung thư phổi và là người không hút thuốc lá là $\frac{276}{10000}=0,0276=2,76%.$ Ta có $\frac{11,24}{2,76}\approx 4.$ Vậy người hút thuốc lá có nguy cơ bị ung thư phổi cao gấp 4 lần so với người không hút thuốc lá. Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tính góc nhị diện giữa mặt phẳng \(SBD\) và mặt phẳng \(SBC\). Để làm điều này, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình chóp: - Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh 2, do đó \(AB = BC = CD = DA = 2\). - \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, do đó \(SA\) là đường cao của hình chóp. - Độ dài \(SA = \sqrt{10}\). 2. Tính độ dài đường chéo \(BD\) của hình vuông: \[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 3. Xác định các mặt phẳng và đường thẳng giao nhau: - Mặt phẳng \(SBD\) và mặt phẳng \(SBC\) giao nhau theo đường thẳng \(SB\). 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng: - Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta cần tìm góc giữa hai pháp tuyến của hai mặt phẳng đó. - Pháp tuyến của mặt phẳng \(SBD\) có thể được xác định bởi vector \(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{BD}\). - Pháp tuyến của mặt phẳng \(SBC\) có thể được xác định bởi vector \(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{BC}\). 5. Tính các vector cần thiết: - Vector \(\overrightarrow{SB} = (0, 0, \sqrt{10})\) (vì \(SA\) vuông góc với đáy và \(B\) nằm trên đáy). - Vector \(\overrightarrow{BD} = (2, -2, 0)\). - Vector \(\overrightarrow{BC} = (2, 0, 0)\). 6. Tính tích có hướng: - \(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & \sqrt{10} \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (2\sqrt{10}, 2\sqrt{10}, 0)\). - \(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & \sqrt{10} \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, 2\sqrt{10}, 0)\). 7. Tính cosin của góc giữa hai pháp tuyến: - \(\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{\|\overrightarrow{n_1}\| \|\overrightarrow{n_2}\|}\). - \(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 2\sqrt{10} \times 0 + 2\sqrt{10} \times 2\sqrt{10} + 0 \times 0 = 40\). - \(\|\overrightarrow{n_1}\| = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 + (2\sqrt{10})^2 + 0^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\). - \(\|\overrightarrow{n_2}\| = \sqrt{0^2 + (2\sqrt{10})^2 + 0^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\). 8. Tính giá trị cosin: \[ \cos \alpha = \frac{40}{(4\sqrt{5})(2\sqrt{10})} = \frac{40}{8\sqrt{50}} = \frac{40}{40\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] 9. Làm tròn kết quả: - \(\cos \alpha \approx 0.447\). Vậy, \(\cos\) của góc nhị diện \([S,BD,C]\) là khoảng 0.4 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tính diện tích phần tô màu giữa đường tròn và các cánh hoa parabol. Bước 1: Tính diện tích hình lục giác đều Hình lục giác đều có cạnh \(a = 2 \, \text{dm}\). Diện tích của hình lục giác đều được tính theo công thức: \[ S_{\text{lục giác}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Thay \(a = 2\) vào, ta có: \[ S_{\text{lục giác}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 2^2 = 6\sqrt{3} \, \text{dm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích của một cánh hoa parabol Mỗi cánh hoa là một parabol có đỉnh cách cạnh của hình lục giác 3 dm. Đỉnh parabol nằm ngoài hình lục giác, do đó khoảng cách từ đỉnh đến cạnh là 3 dm. Phương trình parabol có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Với đỉnh parabol là \((0, 3)\) và đi qua hai điểm \((-1, 0)\) và \((1, 0)\). Giải hệ phương trình: - \(c = 3\) - \(a(-1)^2 + b(-1) + 3 = 0\) - \(a(1)^2 + b(1) + 3 = 0\) Từ hai phương trình trên, ta có: \[ a - b + 3 = 0 \quad \text{và} \quad a + b + 3 = 0 \] Giải hệ: \[ \begin{cases} a - b = -3 \\ a + b = -3 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 2a = -6 \Rightarrow a = -3 \] Thay \(a = -3\) vào \(a + b = -3\): \[ -3 + b = -3 \Rightarrow b = 0 \] Vậy phương trình parabol là: \[ y = -3x^2 + 3 \] Diện tích giữa parabol và trục hoành từ \(-1\) đến \(1\) là: \[ S_{\text{parabol}} = \int_{-1}^{1} (-3x^2 + 3) \, dx \] Tính tích phân: \[ S_{\text{parabol}} = \left[ -x^3 + 3x \right]_{-1}^{1} = \left( -1 + 3 \right) - \left( 1 - 3 \right) = 2 + 2 = 4 \, \text{dm}^2 \] Bước 3: Tính diện tích đường tròn Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của sáu parabol. Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm đến đỉnh parabol, tức là \(2 + 3 = 5 \, \text{dm}\). Diện tích đường tròn: \[ S_{\text{tròn}} = \pi \times 5^2 = 25\pi \, \text{dm}^2 \] Bước 4: Tính diện tích phần tô màu Diện tích phần tô màu là diện tích đường tròn trừ đi diện tích của hình lục giác và sáu cánh hoa: \[ S_{\text{tô màu}} = S_{\text{tròn}} - S_{\text{lục giác}} - 6 \times S_{\text{parabol}} \] Thay các giá trị đã tính: \[ S_{\text{tô màu}} = 25\pi - 6\sqrt{3} - 6 \times 4 \] Tính toán: \[ S_{\text{tô màu}} = 25\pi - 6\sqrt{3} - 24 \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ S_{\text{tô màu}} \approx 25 \times 3.14 - 6 \times 1.73 - 24 \approx 78.5 - 10.38 - 24 \approx 44 \, \text{dm}^2 \] Vậy diện tích phần tô màu là khoảng \(44 \, \text{dm}^2\).