giải chi tiết

Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tính thể tích của khối hộp chữ nhật và khối chóp cụt tứ giác đều, sau đó tìm tỷ số \(\frac{V_1}{V_2}\). Bước 1: Tính thể tích khối hộp chữ nhật Giả sử cạnh đáy của khối hộp chữ nhật là \(a\). Chiều cao của khối hộp chữ nhật là \(3a\). Thể tích của khối hộp chữ nhật \(V_1\) là: \[ V_1 = a^2 \times 3a = 3a^3 \] Bước 2: Tính thể tích khối chóp cụt tứ giác đều Khối chóp cụt có mặt bên là hình thang cân với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. Giả sử đáy nhỏ là \(a\), thì đáy lớn là \(3a\). Góc ở đáy lớn là \(60^\circ\), do đó chiều cao \(h\) của hình thang cân có thể tính bằng cách sử dụng tam giác vuông: \[ h = \left(\frac{3a - a}{2}\right) \times \tan(60^\circ) = a \times \sqrt{3} \] Thể tích của khối chóp cụt \(V_2\) được tính bằng công thức: \[ V_2 = \frac{1}{3} \times h \times (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \times S_2}) \] trong đó \(S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích của hai đáy. Diện tích đáy nhỏ \(S_1 = a^2\). Diện tích đáy lớn \(S_2 = (3a)^2 = 9a^2\). Thay vào công thức: \[ V_2 = \frac{1}{3} \times a\sqrt{3} \times (a^2 + 9a^2 + \sqrt{a^2 \times 9a^2}) \] \[ = \frac{1}{3} \times a\sqrt{3} \times (10a^2 + 3a^2) \] \[ = \frac{1}{3} \times a\sqrt{3} \times 13a^2 \] \[ = \frac{13a^3\sqrt{3}}{3} \] Bước 3: Tính tỷ số \(\frac{V_1}{V_2}\) \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{3a^3}{\frac{13a^3\sqrt{3}}{3}} = \frac{9a^3}{13a^3\sqrt{3}} \] \[ = \frac{9}{13\sqrt{3}} \] Rút gọn và làm tròn đến hàng phần trăm: \[ \frac{9}{13\sqrt{3}} \approx \frac{9}{22.5167} \approx 0.40 \] Vậy, tỷ số \(\frac{V_1}{V_2}\) là khoảng \(0.40\). Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm điểm \( M(a; b; c) \) trên mặt cầu \((S): x^2 + y^2 + (z-3)^2 = \frac{49}{20}\) sao cho biểu thức \( T = MA^2 + MB^2 + MC^2 \) đạt giá trị lớn nhất. Trước tiên, ta tính các khoảng cách bình phương từ \( M \) đến các điểm \( A, B, C \): - \( MA^2 = (a-3)^2 + b^2 + c^2 \) - \( MB^2 = a^2 + (b-5)^2 + c^2 \) - \( MC^2 = a^2 + (b-5)^2 + (c-1)^2 \) Biểu thức \( T \) có dạng: \[ T = (a-3)^2 + b^2 + c^2 + a^2 + (b-5)^2 + c^2 + a^2 + (b-5)^2 + (c-1)^2 \] Rút gọn biểu thức \( T \): \[ T = (a-3)^2 + a^2 + a^2 + b^2 + (b-5)^2 + (b-5)^2 + c^2 + c^2 + (c-1)^2 \] \[ = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 6a - 20b - 2c + 51 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( T \), ta cần tìm điểm \( M \) trên mặt cầu \((S)\) sao cho \( T \) đạt giá trị lớn nhất. Do đó, ta cần sử dụng điều kiện của mặt cầu: \[ x^2 + y^2 + (z-3)^2 = \frac{49}{20} \] Thay \( a, b, c \) vào điều kiện mặt cầu: \[ a^2 + b^2 + (c-3)^2 = \frac{49}{20} \] Để tối ưu hóa \( T \), ta sử dụng phương pháp Lagrange để tìm cực trị của hàm \( T \) với ràng buộc là phương trình mặt cầu. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể nhận thấy rằng điểm \( M \) là tâm của mặt cầu sẽ cho giá trị lớn nhất của \( T \) do tính chất đối xứng và khoảng cách từ tâm đến các điểm trên mặt cầu là không đổi. Tâm của mặt cầu \((S)\) là \( (0, 0, 3) \). Thay \( M(0, 0, 3) \) vào biểu thức \( T \): \[ T = (0-3)^2 + 0^2 + 3^2 + 0^2 + (0-5)^2 + 3^2 + 0^2 + (0-5)^2 + (3-1)^2 \] \[ = 9 + 0 + 9 + 0 + 25 + 9 + 0 + 25 + 4 \] \[ = 90 \] Vậy điểm \( M \) là \( (0, 0, 3) \) và tổng \( a + b + c = 0 + 0 + 3 = 3 \). Kết quả là tổng \( a + b + c \) bằng 3.00 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính lãi suất và số tiền gốc còn lại sau mỗi lần trả nợ. Bước 1: Tính số tiền lãi phát sinh sau mỗi tháng. - Lãi suất hàng tháng: 0,8% = 0,008 - Số tiền lãi phát sinh sau mỗi tháng: 500 triệu × 0,008 = 4 triệu đồng Bước 2: Tính số tiền gốc còn lại sau mỗi lần trả nợ. - Mỗi tháng ông Bình trả 10 triệu đồng, trong đó có 4 triệu đồng là lãi và 6 triệu đồng là gốc. - Số tiền gốc còn lại sau mỗi lần trả nợ: 500 triệu - 6 triệu = 494 triệu đồng Bước 3: Tính số tiền gốc còn lại sau n tháng. - Số tiền gốc còn lại sau n tháng: 500 triệu - 6 triệu × n Bước 4: Tìm số tháng n để số tiền gốc còn lại bằng 0. - 500 triệu - 6 triệu × n = 0 - 6 triệu × n = 500 triệu - n = 500 triệu / 6 triệu - n ≈ 83,33 tháng Bước 5: Tính số tiền phải trả ở tháng cuối cùng. - Số tiền phải trả ở tháng cuối cùng: 500 triệu - 6 triệu × 83 = 500 triệu - 498 triệu = 2 triệu đồng Vậy số tiền ông Bình phải trả ở tháng cuối trong hợp đồng vay là 2 triệu đồng. Lưu ý: Kết quả đã được làm tròn đến hàng phần trăm.