Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = $\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} \) với điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = 3 \) và \( a, b, c > 0 \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số dương \( a, b, c \): \[ (a^2 + b^2 + c^2)\left(1 + 1 + 1\right) \geq (a + b + c)^2. \] Bước 2: Thay \( a^2 + b^2 + c^2 = 3 \) vào bất đẳng thức trên: \[ 3 \cdot 3 \geq (a + b + c)^2. \] \[ 9 \geq (a + b + c)^2. \] \[ 3 \geq a + b + c. \] Bước 3: Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa cho ba số \( \frac{1}{2-a}, \frac{1}{2-b}, \frac{1}{2-c} \): \[ \left( \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} \right) \left( (2-a) + (2-b) + (2-c) \right) \geq (1 + 1 + 1)^2. \] Bước 4: Rút gọn biểu thức bên phải: \[ \left( \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} \right) \left( 6 - (a + b + c) \right) \geq 9. \] Bước 5: Thay \( a + b + c \leq 3 \) vào bất đẳng thức trên: \[ \left( \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} \right) \left( 6 - 3 \right) \geq 9. \] \[ \left( \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} \right) \cdot 3 \geq 9. \] \[ \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} \geq 3. \] Bước 6: Kiểm tra xem giá trị \( P = 3 \) có thể đạt được hay không. Giả sử \( a = b = c = 1 \): \[ a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3. \] \[ P = \frac{1}{2-1} + \frac{1}{2-1} + \frac{1}{2-1} = 1 + 1 + 1 = 3. \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 3, đạt được khi \( a = b = c = 1 \). Đáp án cuối cùng: Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 3, đạt được khi \( a = b = c = 1 \).