Tính tổng tung độ. Câu 5. Một con chim thông minh đang đứng trên một cây cao tại điểm B(7;10;6). Trong không gian,Oxyz mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 mét và mặt đất ( xem như phẳng) là mặt phẳng (Oxy). Con chim,thông minh biết bay thẳng xuống mặt đất tại N và chạy lấy thức ặn tại điểm M cách N 4m sau đó bay,thẳng đến điểm A(1;2;3) trên một cây cao về cho chim con với tổng các khoảng cách BN + AM nhỏ nhất.,Tính tổng các tung độ của M và N.

Question

Accepted Answer

Câu 5:
Để giải bài toán này, ta cần tìm vị trí của điểm N trên mặt phẳng Oxy sao cho tổng khoảng cách BN + AM là nhỏ nhất, với điều kiện điểm M cách N 4m.

Bước 1: Tìm tọa độ điểm N

Điểm N nằm trên mặt phẳng Oxy, do đó tọa độ của N có dạng $ N(x_N, y_N, 0) $.

Khoảng cách từ B đến N là:
$$
BN = \sqrt{(x_N - 7)^2 + (y_N - 10)^2 + (0 - 6)^2}
$$

Bước 2: Tìm tọa độ điểm M

Điểm M cách N 4m, do đó tọa độ của M có dạng $ M(x_M, y_M, 0) $ và thỏa mãn:
$$
\sqrt{(x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2} = 4
$$

Bước 3: Tính khoảng cách AM

Khoảng cách từ M đến A là:
$$
AM = \sqrt{(x_M - 1)^2 + (y_M - 2)^2 + (0 - 3)^2}
$$

Bước 4: Tối thiểu hóa tổng khoảng cách BN + AM

Để tối thiểu hóa tổng khoảng cách $ BN + AM $, ta sử dụng phương pháp phản xạ. Phản xạ điểm A qua mặt phẳng Oxy để được điểm $ A&#x27;(1; 2; -3) $.

Khi đó, tổng khoảng cách BN + AM sẽ bằng khoảng cách từ B đến $ A&#x27; $ qua điểm N và M. Do đó, điểm N phải nằm trên đường thẳng nối B và $ A&#x27; $.

Phương trình đường thẳng BA&#x27; là:
$$
\frac{x - 7}{1 - 7} = \frac{y - 10}{2 - 10} = \frac{z - 6}{-3 - 6}
$$
$$
\frac{x - 7}{-6} = \frac{y - 10}{-8} = \frac{z - 6}{-9}
$$

Vì N nằm trên mặt phẳng Oxy, nên $ z = 0 $. Thay vào phương trình đường thẳng, ta có:
$$
\frac{x - 7}{-6} = \frac{y - 10}{-8} = \frac{0 - 6}{-9}
$$
$$
\frac{x - 7}{-6} = \frac{y - 10}{-8} = \frac{-2}{3}
$$

Giải hệ phương trình:
$$
x - 7 = -6 \times \frac{-2}{3} = 4 \Rightarrow x = 11
$$
$$
y - 10 = -8 \times \frac{-2}{3} = \frac{16}{3} \Rightarrow y = \frac{46}{3}
$$

Vậy tọa độ điểm N là $ N(11, \frac{46}{3}, 0) $.

Bước 5: Tìm tọa độ điểm M

Điểm M cách N 4m, nên:
$$
\sqrt{(x_M - 11)^2 + (y_M - \frac{46}{3})^2} = 4
$$

Giả sử $ x_M = 11 + 4\cos\theta $ và $ y_M = \frac{46}{3} + 4\sin\theta $.

Bước 6: Tính tổng các tung độ của M và N

Tung độ của N là $ \frac{46}{3} $.

Tung độ của M là $ \frac{46}{3} + 4\sin\theta $.

Tổng các tung độ của M và N là:
$$
\frac{46}{3} + \left(\frac{46}{3} + 4\sin\theta\right) = \frac{92}{3} + 4\sin\theta
$$

Để tổng này nhỏ nhất, ta chọn $\sin\theta = 0$, do đó tổng các tung độ là:
$$
\frac{92}{3}
$$

Vậy tổng các tung độ của M và N là $\frac{92}{3}$.