giúp mình với

Câu 1: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( A'B \) và \( B'C \) trong hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \) có cạnh bằng \( a \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí các điểm: - Giả sử \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, a, 0) \). - \( A'(0, 0, a) \), \( B'(a, 0, a) \), \( C'(a, a, a) \), \( D'(0, a, a) \). 2. Xác định phương trình đường thẳng \( A'B \): - Điểm \( A'(0, 0, a) \) và \( B(a, 0, 0) \). - Vector chỉ phương của \( A'B \) là \( \overrightarrow{A'B} = (a, 0, -a) \). - Phương trình tham số của đường thẳng \( A'B \) là: \[ \begin{cases} x = at \\ y = 0 \\ z = a(1-t) \end{cases} \] với \( t \in \mathbb{R} \). 3. Xác định phương trình đường thẳng \( B'C \): - Điểm \( B'(a, 0, a) \) và \( C(a, a, 0) \). - Vector chỉ phương của \( B'C \) là \( \overrightarrow{B'C} = (0, a, -a) \). - Phương trình tham số của đường thẳng \( B'C \) là: \[ \begin{cases} x = a \\ y = as \\ z = a(1-s) \end{cases} \] với \( s \in \mathbb{R} \). 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: - Vector chỉ phương của \( A'B \) là \( \overrightarrow{u} = (a, 0, -a) \). - Vector chỉ phương của \( B'C \) là \( \overrightarrow{v} = (0, a, -a) \). - Vector nối từ \( A' \) đến \( B' \) là \( \overrightarrow{A'B'} = (a, 0, 0) \). 5. Tính tích có hướng của hai vector chỉ phương: \[ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & -a \\ 0 & a & -a \end{vmatrix} = (a^2, a^2, a^2) \] 6. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: - Khoảng cách \( d \) giữa hai đường thẳng chéo nhau được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|\overrightarrow{A'B'} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v})|}{|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|} \] - Tính \( \overrightarrow{A'B'} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) = (a, 0, 0) \cdot (a^2, a^2, a^2) = a^3 \). - Độ dài của \( \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \) là: \[ |\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = \sqrt{a^4 + a^4 + a^4} = a^2\sqrt{3} \] - Vậy khoảng cách \( d \) là: \[ d = \frac{a^3}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( A'B \) và \( B'C \) là \( \frac{a\sqrt{3}}{3} \). Câu 2: Để giải bất phương trình \(\log_2\left(\frac{3x-7}{x+3}\right) \geq 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức \(\frac{3x-7}{x+3}\) phải dương vì logarit chỉ xác định khi đối số của nó dương. - Đồng thời, mẫu số \(x + 3\) không được bằng 0, tức là \(x \neq -3\). Do đó, ta có: \[ \frac{3x-7}{x+3} > 0 \] Giải bất phương trình này: - Xét dấu của \(\frac{3x-7}{x+3}\): - \(3x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{3}\) - \(x + 3 = 0 \implies x = -3\) Ta có bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -3) & (-3, \frac{7}{3}) & (\frac{7}{3}, \infty) \\ \hline 3x - 7 & - & - & + \\ x + 3 & - & + & + \\ \hline \frac{3x-7}{x+3} & + & - & + \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy \(\frac{3x-7}{x+3} > 0\) khi \(x \in (-\infty, -3) \cup (\frac{7}{3}, \infty)\). 2. Giải bất phương trình \(\log_2\left(\frac{3x-7}{x+3}\right) \geq 0\): - Bất phương trình \(\log_2\left(\frac{3x-7}{x+3}\right) \geq 0\) tương đương với: \[ \frac{3x-7}{x+3} \geq 2^0 = 1 \] - Giải bất phương trình \(\frac{3x-7}{x+3} \geq 1\): \[ \frac{3x-7}{x+3} - 1 \geq 0 \implies \frac{3x-7 - (x+3)}{x+3} \geq 0 \implies \frac{2x-10}{x+3} \geq 0 \] - Xét dấu của \(\frac{2x-10}{x+3}\): - \(2x - 10 = 0 \implies x = 5\) - \(x + 3 = 0 \implies x = -3\) Ta có bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -3) & (-3, 5) & (5, \infty) \\ \hline 2x - 10 & - & - & + \\ x + 3 & - & + & + \\ \hline \frac{2x-10}{x+3} & + & - & + \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy \(\frac{2x-10}{x+3} \geq 0\) khi \(x \in (-\infty, -3) \cup [5, \infty)\). 3. Kết hợp các điều kiện: - Điều kiện xác định là \(x \in (-\infty, -3) \cup (\frac{7}{3}, \infty)\). - Điều kiện từ bất phương trình \(\log_2\left(\frac{3x-7}{x+3}\right) \geq 0\) là \(x \in (-\infty, -3) \cup [5, \infty)\). Kết hợp cả hai điều kiện, ta có: \[ x \in (-\infty, -3) \cup [5, \infty) \] Vậy nghiệm của bất phương trình \(\log_2\left(\frac{3x-7}{x+3}\right) \geq 0\) là: \[ \boxed{x \in (-\infty, -3) \cup [5, \infty)} \] Câu 3: a. Số phần tử của không gian mẫu: - Để tạo ra một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ tập hợp A, ta có thể chọn chữ số hàng trăm từ 8 chữ số (1 đến 8), chữ số hàng chục từ 7 chữ số còn lại, và chữ số hàng đơn vị từ 6 chữ số còn lại. - Do đó, số phần tử của không gian mẫu là: 8 × 7 × 6 = 336. b. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn: - Tổng các chữ số của một số sẽ chẵn nếu số đó có 0 hoặc 2 chữ số lẻ. - Ta sẽ tính số lượng các số có tổng các chữ số chẵn trong không gian mẫu: - Số lượng các số có tổng các chữ số chẵn và có 0 chữ số lẻ: + Chữ số hàng trăm phải là số chẵn (có 4 lựa chọn: 2, 4, 6, 8). + Chữ số hàng chục và hàng đơn vị cũng phải là số chẵn (có 3 lựa chọn cho mỗi chữ số). + Số lượng các số này là: 4 × 3 × 2 = 24. - Số lượng các số có tổng các chữ số chẵn và có 2 chữ số lẻ: + Chữ số hàng trăm phải là số lẻ (có 4 lựa chọn: 1, 3, 5, 7). + Chữ số hàng chục và hàng đơn vị phải là số chẵn (có 4 lựa chọn cho mỗi chữ số). + Số lượng các số này là: 4 × 4 × 3 = 48. - Tổng số lượng các số có tổng các chữ số chẵn là: 24 + 48 = 72. - Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn là: 72/336 = 3/14. Đáp số: a. Số phần tử của không gian mẫu: 336. b. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn: 3/14. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc trên đồ thị (C). Cho hàm số \( y = \frac{2x}{x+1} \). Ta cần tìm tọa độ điểm trên đồ thị (C) khi \( x = 1 \). Thay \( x = 1 \) vào hàm số, ta có: \[ y = \frac{2 \times 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Vậy, điểm tiếp xúc là \( (1, 1) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x}{x+1} \) là: \[ y' = \frac{(x+1) \cdot 2 - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2} \] Tại \( x = 1 \), ta có: \[ y' = \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( (1, 1) \) là \( \frac{1}{2} \). Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (1, 1) \) có dạng: \[ y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \] Rút gọn phương trình: \[ y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] Bước 4: Tìm giao điểm của tiếp tuyến với hai trục tọa độ. - Giao điểm với trục hoành (Ox) khi \( y = 0 \): \[ 0 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2} \] \[ x = -1 \] Vậy, giao điểm với trục Ox là \( (-1, 0) \). - Giao điểm với trục tung (Oy) khi \( x = 0 \): \[ y = \frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] Vậy, giao điểm với trục Oy là \( (0, \frac{1}{2}) \). Bước 5: Tính diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ. Tam giác có các đỉnh là \( (0, 0) \), \( (-1, 0) \), và \( (0, \frac{1}{2}) \). Diện tích tam giác được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \] Đáy là đoạn \( (-1, 0) \) đến \( (0, 0) \), có độ dài là 1. Chiều cao là đoạn từ \( (0, 0) \) đến \( (0, \frac{1}{2}) \), có độ dài là \( \frac{1}{2} \). Vậy diện tích tam giác là: \[ S = \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Kết luận: Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ là \( \frac{1}{4} \).