Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm3. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm2, trong khi mặt bên của bình được làm...

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các kích thước của hình trụ (bán kính đáy \( r \) và chiều cao \( h \)) sao cho chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất, với điều kiện thể tích của bình là 1000 cm³. Bước 1: Xác định các đại lượng và điều kiện - Thể tích của hình trụ: \( V = \pi r^2 h = 1000 \) cm³ - Chi phí vật liệu: - Mặt trên và mặt dưới: 1,2 nghìn đồng/cm² - Mặt bên: 0,75 nghìn đồng/cm² Bước 2: Biểu diễn chi phí tổng cộng Chi phí tổng cộng \( C \) bao gồm chi phí cho mặt trên, mặt dưới và mặt bên: \[ C = 2 \times \text{(diện tích mặt trên)} \times \text{(chi phí mặt trên)} + \text{(diện tích mặt bên)} \times \text{(chi phí mặt bên)} \] \[ C = 2 \times (\pi r^2) \times 1,2 + (2\pi r h) \times 0,75 \] Bước 3: Biểu diễn \( h \) theo \( r \) Từ công thức thể tích: \[ \pi r^2 h = 1000 \] \[ h = \frac{1000}{\pi r^2} \] Bước 4: Thay \( h \) vào công thức chi phí \[ C = 2 \times (\pi r^2) \times 1,2 + (2\pi r \times \frac{1000}{\pi r^2}) \times 0,75 \] \[ C = 2,4 \pi r^2 + \frac{1500}{r} \] Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C \), chúng ta sẽ lấy đạo hàm của \( C \) theo \( r \) và giải phương trình \( C' = 0 \): \[ C = 2,4 \pi r^2 + \frac{1500}{r} \] \[ C' = 4,8 \pi r - \frac{1500}{r^2} \] Đặt \( C' = 0 \): \[ 4,8 \pi r - \frac{1500}{r^2} = 0 \] \[ 4,8 \pi r^3 = 1500 \] \[ r^3 = \frac{1500}{4,8 \pi} \] \[ r^3 = \frac{1500}{4,8 \times 3,1416} \] \[ r^3 \approx \frac{1500}{15,07968} \] \[ r^3 \approx 99,47 \] \[ r \approx \sqrt[3]{99,47} \] \[ r \approx 4,63 \text{ cm} \] Bước 6: Tính \( h \) \[ h = \frac{1000}{\pi r^2} \] \[ h = \frac{1000}{\pi (4,63)^2} \] \[ h = \frac{1000}{\pi \times 21,4369} \] \[ h = \frac{1000}{67,34} \] \[ h \approx 14,85 \text{ cm} \] Kết luận Các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất là: - Bán kính đáy \( r \approx 4,63 \) cm - Chiều cao \( h \approx 14,85 \) cm Đáp số: \( r \approx 4,63 \) cm; \( h \approx 14,85 \) cm.