Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 7. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 7. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB<AC).$ Đường tròn tâm O,đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (E khác B,F khác,C). Các đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại K.,1) Chứng minh bốn điểm $BEC=BFC=90^0$ từ đó suy ra tứ giác AEHF nội tiếp.,2) Gọi D là giao điểm của AH và (O) $(D$ nằm giữa A và H), chứng minh,$BD^2=BK.BC$ và $BDH=BFD.$,3) Trong trường hợp $BAC=60^0$ và $BC=6~cm,$ , tính độ dài đoạn thẳng EF và bán kính,đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Accepted Answer

Bài 7:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

Phần 1: Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

1. Chứng minh $ \angle BEC = \angle BFC = 90^\circ $:

- Do $ O $ là tâm của đường tròn đường kính $ BC $, nên $ \angle BEC = \angle BFC = 90^\circ $ vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

2. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp:

- Ta có $ \angle AEF = 180^\circ - \angle BEC = 90^\circ $.
   - Tương tự, $ \angle AFH = 180^\circ - \angle BFC = 90^\circ $.
   - Do đó, tổng hai góc đối diện của tứ giác AEHF là $ \angle AEF + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.
   - Vậy tứ giác AEHF nội tiếp.

Phần 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan đến D

1. Chứng minh $ BD^2 = BK \cdot BC $:

- Do $ D $ nằm trên đường tròn $(O)$, nên $ \angle BFD = \angle BHD $.
   - Tứ giác $ BFHD $ nội tiếp, do đó $ \angle BFD = \angle BHD $.
   - Theo định lý về đường kính và tiếp tuyến, ta có $ BD^2 = BK \cdot BC $.

2. Chứng minh $ \angle BDH = \angle BFD $:

- Từ tứ giác nội tiếp $ BFHD $, ta có $ \angle BDH = \angle BFD $.

Phần 3: Tính độ dài đoạn thẳng EF và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

1. Tính độ dài đoạn thẳng EF:

- Do $ \angle BAC = 60^\circ $ và $ BC = 6 \, \text{cm} $, ta có $ \angle BEC = \angle BFC = 90^\circ $.
   - Tam giác $ BEC $ vuông tại $ E $ và tam giác $ BFC $ vuông tại $ F $.
   - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:
     $$
     BE^2 + EC^2 = BC^2 = 6^2 = 36
     $$
   - Tương tự, $ BF^2 + FC^2 = 36 $.
   - Do $ E $ và $ F $ là các điểm trên đường tròn, ta có $ EF $ là dây cung của đường tròn.
   - Sử dụng định lý về dây cung và góc nội tiếp, ta có:
     $$
     EF = \sqrt{BE^2 + BF^2} = \sqrt{36 - EC^2 + 36 - FC^2} = \sqrt{72 - (EC^2 + FC^2)}
     $$
   - Do $ EC = FC $, ta có $ EF = \sqrt{72 - 2 \cdot EC^2} $.

2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF:

- Tam giác $ AEF $ có $ \angle AEF = 90^\circ $.
   - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là nửa độ dài cạnh huyền.
   - Do đó, bán kính $ R $ là:
     $$
     R = \frac{EF}{2}
     $$

Vậy, độ dài đoạn thẳng $ EF $ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ AEF $ có thể được tính toán cụ thể khi biết thêm thông tin về các cạnh $ BE $ và $ BF $.