Tính T = a + b.

Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí của điểm \( Q \) trên cạnh \( DD' \) sao cho mặt phẳng \( (MNP) \) cắt cạnh \( DD' \) tại \( Q \). Trước tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm \( M, N, P \) trên các cạnh \( AA', BB', CC' \). 1. Xác định tọa độ của điểm \( M \): Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( AA' \) và thỏa mãn \(\frac{A'M}{AA'} = \frac{1}{3}\). Giả sử \( A \) có tọa độ \((0, 0, 0)\) và \( A' \) có tọa độ \((0, 0, h)\). Khi đó, tọa độ của \( M \) là: \[ M = \left(0, 0, \frac{2}{3}h\right) \] 2. Xác định tọa độ của điểm \( N \): Điểm \( N \) nằm trên cạnh \( BB' \) và thỏa mãn \(\frac{B'N}{BB'} = \frac{2}{3}\). Giả sử \( B \) có tọa độ \((x, 0, 0)\) và \( B' \) có tọa độ \((x, 0, h)\). Khi đó, tọa độ của \( N \) là: \[ N = \left(x, 0, \frac{1}{3}h\right) \] 3. Xác định tọa độ của điểm \( P \): Điểm \( P \) nằm trên cạnh \( CC' \) và thỏa mãn \(\frac{C'P}{CC'} = \frac{1}{2}\). Giả sử \( C \) có tọa độ \((x, y, 0)\) và \( C' \) có tọa độ \((x, y, h)\). Khi đó, tọa độ của \( P \) là: \[ P = \left(x, y, \frac{1}{2}h\right) \] 4. Xác định phương trình mặt phẳng \( (MNP) \): Mặt phẳng \( (MNP) \) có phương trình dạng \( ax + by + cz = d \). Ta cần tìm các hệ số \( a, b, c, d \) sao cho mặt phẳng đi qua các điểm \( M, N, P \). - Thay tọa độ \( M(0, 0, \frac{2}{3}h) \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ c \cdot \frac{2}{3}h = d \quad \Rightarrow \quad d = \frac{2}{3}ch \] - Thay tọa độ \( N(x, 0, \frac{1}{3}h) \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ ax + c \cdot \frac{1}{3}h = d \quad \Rightarrow \quad ax + \frac{1}{3}ch = \frac{2}{3}ch \] \[ ax = \frac{1}{3}ch \] - Thay tọa độ \( P(x, y, \frac{1}{2}h) \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ ax + by + c \cdot \frac{1}{2}h = d \quad \Rightarrow \quad ax + by + \frac{1}{2}ch = \frac{2}{3}ch \] \[ ax + by = \frac{1}{6}ch \] Từ các phương trình trên, ta có hệ: \[ ax = \frac{1}{3}ch \] \[ ax + by = \frac{1}{6}ch \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được: \[ by = \frac{1}{6}ch - \frac{1}{3}ch = -\frac{1}{6}ch \] 5. Xác định tọa độ của điểm \( Q \): Điểm \( Q \) nằm trên cạnh \( DD' \) và có dạng \( (0, y, z) \). Giả sử \( D \) có tọa độ \((0, y, 0)\) và \( D' \) có tọa độ \((0, y, h)\). Thay tọa độ \( Q(0, y, z) \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ by + cz = \frac{2}{3}ch \] Thay \( b = -\frac{1}{6}c \) vào, ta có: \[ -\frac{1}{6}cy + cz = \frac{2}{3}ch \] Giải phương trình này, ta tìm được: \[ cz = \frac{2}{3}ch + \frac{1}{6}cy \] Do \( y \) là tọa độ của \( D \), ta có: \[ z = \frac{2}{3}h + \frac{1}{6}y \] Từ đó, ta có: \[ \frac{D'Q}{DD'} = \frac{h - z}{h} = \frac{h - \left(\frac{2}{3}h + \frac{1}{6}y\right)}{h} \] Giả sử \( y = 0 \) (vì \( D \) và \( D' \) chỉ khác nhau ở tọa độ \( z \)), ta có: \[ \frac{D'Q}{DD'} = \frac{h - \frac{2}{3}h}{h} = \frac{1}{3} \] Vậy tỉ số \(\frac{D'Q}{DD'} = \frac{1}{3}\), do đó \( a = 1 \) và \( b = 3 \). Tổng \( T = a + b = 1 + 3 = 4 \). Kết luận: \( T = 4 \).