cứu câu 1 diiiiii CHUYÊN ĐỀ 4. KHẢO SÁT HÀM SỐ,* Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị (C),a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1);(-1;0).$ b)Hàm số có hai điểm cực trị.,:) Giá trị nhỏ lớn nhất trên đoạn [0;3] bằng . d)Đồ thị (C) có tiệm cận xiên đi qua điểm $A(1;2)$,Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}$ có đồ thị là (C).,a)Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là $y=-x-6.$ b)Đồ thị (C) nhận giao điểm $I(3;-9)$ làm tâm đối xứn,:) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với Oy . d) Đồ thị không cắt trục Ox .,Câu 3. Cho ba dạng đồ thị hàm số. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng đ,sai ?, ,,Xét tính đúng/sai các mệnh đề sau:,a) Hình 1 là đồ thị hàm số bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ có hệ số $a0$ và,b) Hình 2 là đồ thị hàm số có dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ thoả $a=c,$ với $a e0,~c e$,c) Hình 3 là đồ thị hàm số có dạng $y=\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}$ với $a e0,~m e0$ v

Question

cứu câu 1 diiiiii CHUYÊN ĐỀ 4. KHẢO SÁT HÀM SỐ,* Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị (C),a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1);(-1;0).$ b)Hàm số có hai điểm cực trị.,:) Giá trị nhỏ lớn nhất trên đoạn [0;3] bằng . d)Đồ thị (C) có tiệm cận xiên đi qua điểm $A(1;2)$,Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}$ có đồ thị là (C).,a)Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là $y=-x-6.$ b)Đồ thị (C) nhận giao điểm $I(3;-9)$ làm tâm đối xứn,:) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với Oy . d) Đồ thị không cắt trục Ox .,Câu 3. Cho ba dạng đồ thị hàm số. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng đ,sai ?,

,

,Xét tính đúng/sai các mệnh đề sau:,a) Hình 1 là đồ thị hàm số bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ có hệ số $a>0$ và,b) Hình 2 là đồ thị hàm số có dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ thoả $a=c,$ với $a e0,~c e$,c) Hình 3 là đồ thị hàm số có dạng $y=\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}$ với $a e0,~m e0$ v

Accepted Answer

Câu 1: a) Ta có $ y' = \frac{-(x^2 + 2x)}{(x + 1)^2} $ $ y' > 0 \Leftrightarrow -x^2 - 2x > 0 \Leftrightarrow -2 < x < 0 $ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0). b) Xét phương trình $ y' = 0 \Leftrightarrow -x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0 $ hoặc $ x = -2 $ Ta có $ y'' = \frac{-2(x + 1)(x + 1)^2 - (-(x^2 + 2x))(2(x + 1))}{(x + 1)^4} = \frac{-2(x + 1)^3 + 2(x^2 + 2x)(x + 1)}{(x + 1)^4} = \frac{-2(x + 1)^3 + 2(x^3 + 3x^2 + 2x)}{(x + 1)^4} = \frac{-2x^3 - 6x^2 - 6x - 2 + 2x^3 + 6x^2 + 4x}{(x + 1)^4} = \frac{-2x - 2}{(x + 1)^4} $ Tại $ x = 0 $, $ y'' = \frac{-2(0) - 2}{(0 + 1)^4} = -2 < 0 $, do đó hàm số đạt cực đại tại $ x = 0 $. Tại $ x = -2 $, $ y'' = \frac{-2(-2) - 2}{(-2 + 1)^4} = \frac{4 - 2}{1} = 2 > 0 $, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $ x = -2 $. Vậy hàm số có hai điểm cực trị. c) Ta có $ y(0) = \frac{-0^2 + 0 + 1}{0 + 1} = 1 $ $ y(3) = \frac{-3^2 + 3 + 1}{3 + 1} = \frac{-9 + 3 + 1}{4} = \frac{-5}{4} $ Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là 1, đạt được khi $ x = 0 $. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là $\frac{-5}{4}$, đạt được khi $ x = 3 $. d) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) có dạng $ y = ax + b $. Ta có $ \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2 + x + 1}{x(x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2 + x + 1}{x^2 + x} = -1 $ Do đó, $ a = -1 $. Tiếp theo, ta có $ \lim_{x \to \infty} (y - ax) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} + x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2 + x + 1 + x^2 + x}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x + 1} = 2 $ Do đó, $ b = 2 $. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng $ y = -x + 2 $. Thay tọa độ điểm A(1; 2) vào phương trình của tiệm cận xiên, ta có: $ 2 = -1 + 2 $ Vậy tiệm cận xiên của đồ thị (C) đi qua điểm A(1; 2). Câu 2: Để giải quyết các phần a), b), c) và d) của bài toán liên quan đến hàm số $ y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} $, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định. Phần a) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $ y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} $, chúng ta thực hiện phép chia đa thức: $$ \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} $$ Thực hiện phép chia: $$ -x^2 - 3x + 4 = (-x - 6)(x - 3) + 22 $$ Do đó, $$ y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} = -x - 6 + \frac{22}{x - 3} $$ Khi $ x \to \infty $ hoặc $ x \to -\infty $, phần $\frac{22}{x - 3}$ tiến về 0, nên tiệm cận xiên của đồ thị là: $$ y = -x - 6 $$ Khẳng định đúng. Phần b) Giao điểm $ I(3; -9) $ làm tâm đối xứng Để kiểm tra xem đồ thị có nhận $ I(3; -9) $ làm tâm đối xứng hay không, chúng ta cần kiểm tra tính chất đối xứng của hàm số quanh điểm này. Hàm số $ y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} $ có dạng phân thức, và để kiểm tra tính đối xứng, chúng ta cần kiểm tra nếu thay $ x $ bằng $ 6 - x $ (vì tâm đối xứng là $ (3, -9) $) thì giá trị $ y $ có thay đổi hay không. Thay $ x $ bằng $ 6 - x $: $$ y = \frac{-(6 - x)^2 - 3(6 - x) + 4}{(6 - x) - 3} = \frac{-(36 - 12x + x^2) - 18 + 3x + 4}{3 - x} = \frac{-x^2 + 9x - 50}{3 - x} $$ So sánh với $ y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} $, ta thấy rằng giá trị $ y $ không đối xứng quanh $ I(3; -9) $. Khẳng định sai. Phần c) Hai điểm cực trị nằm ở hai phía của Oy Để tìm các điểm cực trị, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số và giải phương trình $ y' = 0 $. Tính đạo hàm $ y' $: $$ y = \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} $$ Sử dụng quy tắc thương: $$ y' = \frac{(-2x - 3)(x - 3) - (-x^2 - 3x + 4)}{(x - 3)^2} = \frac{-2x^2 + 6x - 3x + 9 + x^2 + 3x - 4}{(x - 3)^2} = \frac{-x^2 + 6x + 5}{(x - 3)^2} $$ Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ -x^2 + 6x + 5 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 20}}{-2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{-2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{-2} = 3 \pm \sqrt{14} $$ Các điểm cực trị là $ x_1 = 3 + \sqrt{14} $ và $ x_2 = 3 - \sqrt{14} $. Kiểm tra xem các điểm này có nằm ở hai phía của Oy hay không: $$ 3 + \sqrt{14} > 0 \quad \text{và} \quad 3 - \sqrt{14} < 0 $$ Khẳng định đúng. Phần d) Đồ thị không cắt trục Ox Để kiểm tra xem đồ thị có cắt trục Ox hay không, chúng ta cần giải phương trình $ y = 0 $: $$ \frac{-x^2 - 3x + 4}{x - 3} = 0 $$ Giải phương trình tử số bằng 0: $$ -x^2 - 3x + 4 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{-2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{-2} = \frac{3 \pm 5}{-2} $$ Các nghiệm là: $$ x = \frac{8}{-2} = -4 \quad \text{và} \quad x = \frac{-2}{-2} = 1 $$ Vậy đồ thị cắt trục Ox tại $ x = -4 $ và $ x = 1 $. Khẳng định sai. Kết luận a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 3: Để xét tính đúng/sai của các mệnh đề, ta phân tích từng hình: a) Hình 1 - Hình 1 là đồ thị của một hàm số bậc ba có dạng $ y = ax^3 + bx^2 + cx + d $. - Đồ thị có hai điểm cực trị, và hướng đi lên khi $ x \to +\infty $, đi xuống khi $ x \to -\infty $. - Điều này cho thấy hệ số $ a > 0 $. Kết luận: Mệnh đề a đúng. b) Hình 2 - Hình 2 là đồ thị của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng $ y = \frac{ax+b}{cx+d} $. - Đồ thị có tiệm cận đứng tại $ x = -\frac{d}{c} $ và tiệm cận ngang $ y = \frac{a}{c} $. - Đồ thị có tiệm cận ngang là $ y = 1 $, điều này xảy ra khi $ a = c $. Kết luận: Mệnh đề b đúng. c) Hình 3 - Hình 3 là bảng biến thiên của hàm số có dạng $ y = \frac{ax^2+bx+c}{mx+n} $. - Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, phù hợp với dạng hàm số đã cho. - Bảng biến thiên cho thấy hàm số có cực trị và tiệm cận đứng, phù hợp với dạng hàm số đã cho. Kết luận: Mệnh đề c đúng. Tóm lại, cả ba mệnh đề a, b, c đều đúng.