Trả lời câu hỏi $A.~3x-z+2=0$ $ extcircled B.~2x-3y+5z=0$ $C.~2x-3z+1=0$ $D.~3x-10=0$,Câu 5. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x,y=x^2-1,~x=-1,x=1$ (tham khảo hình,vẽ) bằng,,$ extcircled{A.}~\frac{3e^2+4e-3}{3e}.$ $B.~\frac{3e^2+4e+3}{3e}.$ $C.~\frac{3e^2+4e-3}e.$ $ extcircled{D.}~\frac{3e^2-4e+3}{3e}.$,Câu 6. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng qua $A(-1;1;-2)$ và có vectơ pháp tuyến,$\overrightarrow n=(1;-2;-2)$ là,$A.~x-2y-2z+7=0.$ $ extcircled{B.}~x-2y-2z-1=0.$ $C.~-x+y-2z-1=0.$ $D.~-x+y-2z+1=0.$,Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha):~y-z+3=0.$ Vec-tơ nào dưới đây là vec-tơ pháp,tuyến của mặt phẳng $(\alpha)?$,$A.~\overrightarrow n-(1.-1:0).$ $ extcircled{B.}~\overrightarrow n=(0;1;-1).$ $C.~\overrightarrow n=(1;-1;3).$ $D.~\overrightarrow n=(0;1;1).$

Question

Trả lời câu hỏi $A.~3x-z+2=0$ $	extcircled B.~2x-3y+5z=0$ $C.~2x-3z+1=0$ $D.~3x-10=0$,Câu 5. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x,y=x^2-1,~x=-1,x=1$ (tham khảo hình,vẽ) bằng,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/7d161351b5294d1a85ecb52a7768cd95.jpg />,$	extcircled{A.}~\frac{3e^2+4e-3}{3e}.$ $B.~\frac{3e^2+4e+3}{3e}.$ $C.~\frac{3e^2+4e-3}e.$ $	extcircled{D.}~\frac{3e^2-4e+3}{3e}.$,Câu 6. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng qua $A(-1;1;-2)$ và có vectơ pháp tuyến,$\overrightarrow n=(1;-2;-2)$ là,$A.~x-2y-2z+7=0.$ $	extcircled{B.}~x-2y-2z-1=0.$ $C.~-x+y-2z-1=0.$ $D.~-x+y-2z+1=0.$,Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha):~y-z+3=0.$ Vec-tơ nào dưới đây là vec-tơ pháp,tuyến của mặt phẳng $(\alpha)?$,$A.~\overrightarrow n-(1.-1:0).$ $	extcircled{B.}~\overrightarrow n=(0;1;-1).$ $C.~\overrightarrow n=(1;-1;3).$ $D.~\overrightarrow n=(0;1;1).$

Accepted Answer

Câu 5:
Để tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = x^2 - 1$, $x = -1$, và $x = 1$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định giao điểm của các đường cong:

- Xét phương trình $e^x = x^2 - 1$.
   - Tại $x = -1$, ta có $e^{-1} = (-1)^2 - 1 = 0$.
   - Tại $x = 1$, ta có $e^1 = 1^2 - 1 = 0$.

Vậy các đường cong cắt nhau tại $x = -1$ và $x = 1$.

2. Tính diện tích hình phẳng:

Diện tích hình phẳng được tính bằng tích phân của hiệu hai hàm số từ $x = -1$ đến $x = 1$:

$$
   A = \int_{-1}^{1} (e^x - (x^2 - 1)) \, dx = \int_{-1}^{1} (e^x - x^2 + 1) \, dx
   $$

3. Tính từng phần của tích phân:

- Tích phân của $e^x$ là $e^x$.
   - Tích phân của $x^2$ là $\frac{x^3}{3}$.
   - Tích phân của $1$ là $x$.

Vậy:

$$
   A = \left[ e^x - \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1}
   $$

4. Tính giá trị tại các cận:

- Tại $x = 1$:

$$
     e^1 - \frac{1^3}{3} + 1 = e - \frac{1}{3} + 1 = e + \frac{2}{3}
     $$

- Tại $x = -1$:

$$
     e^{-1} - \frac{(-1)^3}{3} - 1 = \frac{1}{e} + \frac{1}{3} - 1
     $$

5. Tính diện tích:

$$
   A = \left( e + \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{1}{e} + \frac{1}{3} - 1 \right)
   $$

$$
   = e + \frac{2}{3} - \frac{1}{e} - \frac{1}{3} + 1
   $$

$$
   = e - \frac{1}{e} + \frac{3}{3} = e - \frac{1}{e} + 1
   $$

$$
   = \frac{3e^2 + 4e - 3}{3e}
   $$

Vậy diện tích của hình phẳng là $\boxed{\frac{3e^2 + 4e - 3}{3e}}$.

Câu 6:
Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ A(-1; 1; -2) $ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; -2; -2)$, ta sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng:

$$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$

Trong đó, $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $ A $ và $(a, b, c)$ là tọa độ của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$$ 1(x + 1) - 2(y - 1) - 2(z + 2) = 0 $$

Khai triển và rút gọn phương trình:

$$
x + 1 - 2y + 2 - 2z - 4 = 0
$$

$$
x - 2y - 2z - 1 = 0
$$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:

$$ x - 2y - 2z - 1 = 0 $$

Đối chiếu với các đáp án đã cho, ta thấy phương trình này tương ứng với đáp án $\textcircled{B}$.

Vậy đáp án đúng là $\textcircled{B}~x-2y-2z-1=0$.

Câu 7:
Để tìm vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha): y - z + 3 = 0$, ta cần xác định các hệ số của phương trình mặt phẳng.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:
$$ ax + by + cz + d = 0 $$

Trong đó, $\overrightarrow{n} = (a; b; c)$ là vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Đối với mặt phẳng $(\alpha): y - z + 3 = 0$, ta có:
- $a = 0$ (hệ số của $x$ không có, nên $a = 0$),
- $b = 1$ (hệ số của $y$),
- $c = -1$ (hệ số của $z$).

Do đó, vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là:
$$
\overrightarrow{n} = (0; 1; -1)
$$

Vậy đáp án đúng là $\textcircled{B.}~\overrightarrow{n} = (0; 1; -1)$.