Chứng tỏ g(x) = 0 luôn có nghiệm thực. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và a,bbl ccc số thực bấttkìì.XXt hàm số,$g(x)=f(a)+f(b)-2f(x).$ Chứng minh rằng phương trình $g(x)=0$ luôn có nghiệm thực

Question

Accepted Answer

Do f(x) liên tục trên R nên g(x) cũng liên tục trên R.
Ta có:
$ g(a) = f(a) + f(b) - 2f(a) = f(b) - f(a) $
$ g(b) = f(a) + f(b) - 2f(b) = f(a) - f(b) $
Suy ra $ g(a) \cdot g(b) = -[f(b) - f(a)]^2 \leq 0 $
+ Nếu $ g(a) \cdot g(b) < 0 $ thì phương trình $ g(x) = 0 $ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)
+ Nếu $ g(a) \cdot g(b) = 0 $ tức là $ f(b) = f(a) $ thì $ g(\frac{a+b}{2}) = f(a) + f(b) - 2f(\frac{a+b}{2}) = 2[f(a) - f(\frac{a+b}{2})] $
Nếu $ f(a) = f(\frac{a+b}{2}) $ thì $ x = \frac{a+b}{2} $ là nghiệm của phương trình $ g(x) = 0 $
Nếu $ f(a) \neq f(\frac{a+b}{2}) $ thì $ g(a) \cdot g(\frac{a+b}{2}) < 0 $ suy ra phương trình $ g(x) = 0 $ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $ (a; \frac{a+b}{2}) $
Vậy phương trình $ g(x) = 0 $ luôn có nghiệm thực.