Tính giá trị B. Câu 20: Biết rằng biểu thức $P=\frac{\sqrt2}{\sin x}\sqrt{\frac1{1+\cos x}+\frac1{1-\cos x}}-\frac8{ an x}+3$ đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng,$(0^0;90^0)$ tại $x=\alpha.$ Tính giá trị biểu thức $B=\frac{7\sin\alpha-7\cos\alpha}{\sin^3\alpha+3\cos^3\alpha+2\sin\alpha}.$

Question

Tính giá trị B. Câu 20: Biết rằng biểu thức $P=\frac{\sqrt2}{\sin x}\sqrt{\frac1{1+\cos x}+\frac1{1-\cos x}}-\frac8{	an x}+3$ đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng,$(0^0;90^0)$ tại $x=\alpha.$ Tính giá trị biểu thức $B=\frac{7\sin\alpha-7\cos\alpha}{\sin^3\alpha+3\cos^3\alpha+2\sin\alpha}.$

Accepted Answer

Câu 20:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Rút gọn biểu thức $ P $.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $ trên khoảng $ (0^\circ; 90^\circ) $ và xác định $ x = \alpha $ tại đó $ P $ đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Thay $ x = \alpha $ vào biểu thức $ B $ và tính giá trị của $ B $.

Bước 1: Rút gọn biểu thức $ P $

Biểu thức ban đầu:
$$ P = \frac{\sqrt{2}}{\sin x} \sqrt{\frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 - \cos x}} - \frac{8}{\tan x} + 3 $$

Rút gọn phần trong căn:
$$ \frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 - \cos x} = \frac{(1 - \cos x) + (1 + \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = \frac{2}{1 - \cos^2 x} = \frac{2}{\sin^2 x} $$

Do đó:
$$ \sqrt{\frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 - \cos x}} = \sqrt{\frac{2}{\sin^2 x}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin x} $$

Thay vào biểu thức $ P $:
$$ P = \frac{\sqrt{2}}{\sin x} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin x} - \frac{8}{\tan x} + 3 = \frac{2}{\sin^2 x} - \frac{8 \cos x}{\sin x} + 3 $$

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $ trên khoảng $ (0^\circ; 90^\circ) $

Ta có:
$$ P = \frac{2}{\sin^2 x} - \frac{8 \cos x}{\sin x} + 3 $$

Đặt $ t = \sin x $ và $ s = \cos x $. Ta biết rằng $ t^2 + s^2 = 1 $.

Biểu thức $ P $ trở thành:
$$ P = \frac{2}{t^2} - \frac{8s}{t} + 3 $$

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần kiểm tra các giá trị đặc biệt của $ x $ trong khoảng $ (0^\circ; 90^\circ) $.

- Khi $ x = 45^\circ $:
  $$ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
  $$ P = \frac{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} - \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} + 3 = \frac{2}{\frac{1}{2}} - 8 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $-1$ và đạt được khi $ x = 45^\circ $. Do đó, $ \alpha = 45^\circ $.

Bước 3: Tính giá trị của $ B $

Thay $ x = 45^\circ $ vào biểu thức $ B $:
$$ B = \frac{7 \sin 45^\circ - 7 \cos 45^\circ}{\sin^3 45^\circ + 3 \cos^3 45^\circ + 2 \sin 45^\circ} $$

Với $ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
$$ B = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 + 3 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{0}{\frac{2\sqrt{2}}{8} + \frac{6\sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}} = \frac{0}{\frac{8\sqrt{2}}{8} + \sqrt{2}} = \frac{0}{2\sqrt{2}} = 0 $$

Vậy giá trị của $ B $ là:
$$ B = 0 $$