Trong hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z + 2x - 6y -4z - 104 = 0 và mặt phẳng (P) : -x- 5y-2z- 1 = 0. Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) : -x - 5y -2z -1 = 0 theo một đường tròn có bán kính bằng ba...

Để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu \((S)\) và mặt phẳng \((P)\), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình mặt cầu \((S)\) Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ x^2 + y^2 + z + 2x - 6y - 4z - 104 = 0. \] Ta nhóm các biến lại và hoàn thành bình phương: - Với \(x\): \(x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1\). - Với \(y\): \(y^2 - 6y = (y-3)^2 - 9\). - Với \(z\): \(z - 4z = -3z\). Thay vào phương trình mặt cầu: \[ (x+1)^2 - 1 + (y-3)^2 - 9 + z - 3z - 104 = 0. \] Đơn giản hóa: \[ (x+1)^2 + (y-3)^2 - 2z - 114 = 0. \] Chuyển vế: \[ (x+1)^2 + (y-3)^2 + (-2z) = 114. \] Bước 2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu Từ phương trình đã hoàn thành bình phương, ta có: - Tâm \(I(-1, 3, 0)\). - Bán kính \(R\) của mặt cầu: \(\sqrt{114}\). Bước 3: Tính khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((P)\) Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \[ -x - 5y - 2z - 1 = 0. \] Khoảng cách từ điểm \(I(-1, 3, 0)\) đến mặt phẳng \((P)\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|-(-1) - 5(3) - 2(0) - 1|}{\sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + (-2)^2}}. \] Tính toán: \[ d = \frac{|1 - 15 - 1|}{\sqrt{1 + 25 + 4}} = \frac{|-15|}{\sqrt{30}} = \frac{15}{\sqrt{30}} = \frac{15}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}} = \frac{15\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{2}. \] Bước 4: Tính bán kính của đường tròn giao tuyến Bán kính \(r\) của đường tròn giao tuyến được tính bằng công thức: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2}. \] Với \(R = \sqrt{114}\) và \(d = \frac{\sqrt{30}}{2}\), ta có: \[ r = \sqrt{114 - \left(\frac{\sqrt{30}}{2}\right)^2}. \] Tính toán: \[ \left(\frac{\sqrt{30}}{2}\right)^2 = \frac{30}{4} = 7.5. \] Do đó: \[ r = \sqrt{114 - 7.5} = \sqrt{106.5}. \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ r \approx 10.3. \] Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến là \(10.3\).