Câu 7:
Để xác định điểm nào thuộc đường thẳng , ta cần kiểm tra xem tọa độ của điểm đó có thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng hay không.
Đường thẳng có phương trình tham số:
Chúng ta sẽ kiểm tra từng điểm:
A. :
- :
- :
Hai giá trị không khớp nhau, do đó không thuộc đường thẳng .
B. :
- :
- :
Hai giá trị không khớp nhau, do đó không thuộc đường thẳng .
C. :
- :
- :
Hai giá trị không khớp nhau, do đó không thuộc đường thẳng .
D. :
- :
- :
- :
Cả ba giá trị đều khớp nhau, do đó thuộc đường thẳng .
Vậy, điểm thuộc đường thẳng là .
Câu 8:
Để giải phương trình , ta cần tìm các giá trị của sao cho bằng .
1. Xác định các giá trị đặc biệt của :
Ta biết rằng khi là các góc có dạng:
Điều này là do:
-
-
2. Lập luận chi tiết:
- Trên đường tròn lượng giác, tại hai vị trí đối xứng qua trục tung, đó là và .
- Do tính chất tuần hoàn của hàm số cosin, các nghiệm sẽ có dạng:
3. Kết luận:
Tập nghiệm của phương trình là:
Do đó, đáp án đúng là .
Câu 9:
Để tìm tâm và bán kính của mặt cầu , ta cần đưa phương trình về dạng chuẩn của mặt cầu:
Bước 1: Hoàn thành bình phương cho từng biến.
- Đối với biến :
- Đối với biến :
- Đối với biến :
Bước 2: Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào phương trình của mặt cầu:
Bước 3: Đơn giản hóa phương trình:
Bước 4: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
- Tâm
- Bán kính
Vậy đáp án đúng là .
Câu 10:
Để tìm nguyên hàm của hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm nguyên hàm của từng phần:
- Nguyên hàm của là .
- Nguyên hàm của là vì và .
2. Kết hợp các nguyên hàm:
Từ đó, nguyên hàm tổng quát của là:
3. Sử dụng điều kiện để tìm hằng số :
Biết rằng , ta có:
4. Kết luận:
Vậy nguyên hàm là:
Do đó, đáp án đúng là .
Câu 11:
Để xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC), ta cần tìm góc giữa SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABC).
1. Xác định hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC):
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABC) chính là điểm A. Do đó, hình chiếu của đường thẳng SB lên mặt phẳng (ABC) là đoạn thẳng AB.
2. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC):
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABC), tức là góc giữa SB và AB.
Vậy, góc giữa SB với mặt phẳng (ABC) là góc giữa SB và AB. Do đó, đáp án đúng là B. SB và AB.
Câu 12:
Để rút gọn biểu thức , chúng ta sử dụng tính chất của lũy thừa: .
Áp dụng tính chất này, ta có:
Tiếp theo, ta thực hiện phép cộng các số mũ:
Do đó:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng .
Bước 1: Tìm trung điểm của đoạn thẳng
Trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ:
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt phẳng trung trực vuông góc với đường thẳng , do đó vectơ pháp tuyến của có thể là một vectơ tỉ lệ với . Ta có thể chọn:
Bước 4: Phương trình mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Rút gọn phương trình:
Kiểm tra các khẳng định
a) Khẳng định a: Mặt phẳng có VTPT là .
- Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
b) Khẳng định b: Khoảng cách từ đến mặt phẳng là .
- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
- Sai. Khoảng cách là , không phải .
c) Khẳng định c: Mặt phẳng đi qua điểm .
- Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng:
- Sai. Điểm không nằm trên mặt phẳng .
d) Khẳng định d: Phương trình mặt phẳng có dạng . Khi đó .
- Phương trình đã tìm được là , với , , .
- Tổng .
- Sai. Tổng không bằng 2.
Kết luận: Cả bốn khẳng định đều sai.