cho vật dao dộng điều hòa lúc t = 0, vật có pha dao dộng = 2pi/3, li độ = -10cm, gia tốc = 3,2pi^2 m/s^2. a) Xác định trạng thái vật lúc t = 1s b) Xác định thời điểm đầu tiên vật có pha dao động = pi/3 c) Xác định thời điểm vật có li độ = 10 căn 2 cm lần đầu tiên

Question

Accepted Answer

Cho vật dao động điều hòa với các dữ kiện lúc t = 0:

- Pha dao động $\varphi_0 = \frac{2\pi}{3}$
- Li độ $x_0 = -10 \, \text{cm} = -0.1 \, \text{m}$
- Gia tốc $a_0 = 3.2 \pi^2 \, \text{m/s}^2$

Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là:
$$
x = A \cos(\omega t + \varphi_0)
$$

a) Xác định trạng thái vật lúc t = 1s

---

**Bước 1: Tính tần số góc $\omega$**

Gia tốc dao động điều hòa tại thời điểm t là:
$$
a = -\omega^2 x
$$

Tại $t=0$, ta có:
$$
a_0 = -\omega^2 x_0
$$

Thay số:
$$
3.2 \pi^2 = -\omega^2 \times (-0.1)
\Rightarrow 3.2 \pi^2 = 0.1 \omega^2
$$

$$
\Rightarrow \omega^2 = \frac{3.2 \pi^2}{0.1} = 32 \pi^2
$$

$$
\Rightarrow \omega = \sqrt{32} \pi = 4 \sqrt{2} \pi \approx 17.77 \, \text{rad/s}
$$

---

**Bước 2: Tính biên độ A**

Tại $t=0$, li độ là:
$$
x_0 = A \cos \varphi_0
$$

$$
-0.1 = A \cos \frac{2\pi}{3} = A \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{A}{2}
$$

$$
\Rightarrow A = 0.2 \, \text{m} = 20 \, \text{cm}
$$

---

**Bước 3: Viết phương trình dao động**

$$
x = 0.2 \cos(\omega t + \frac{2\pi}{3}) = 0.2 \cos(4 \sqrt{2} \pi t + \frac{2\pi}{3})
$$

---

**Bước 4: Xác định trạng thái vật lúc t = 1 s**

- Li độ:
$$
x(1) = 0.2 \cos(17.77 \times 1 + \frac{2\pi}{3}) \approx 0.2 \cos(17.77 + 2.094) = 0.2 \cos(19.864)
$$

Tính $\cos(19.864)$:

$19.864$ rad chia cho $2\pi \approx 6.283$, ta có:

$$
19.864 \div 6.283 \approx 3.16
$$

Suy ra:

$$
19.864 = 3 \times 2\pi + 0.16 \approx 3 \times 6.283 + 0.16
$$

Do $\cos(\theta + 2k\pi) = \cos \theta$, nên:

$$
\cos(19.864) = \cos(0.16) \approx 0.987
$$

Vậy:

$$
x(1) \approx 0.2 \times 0.987 = 0.1974 \, \text{m} = 19.74 \, \text{cm}
$$

- Vận tốc:

$$
v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_0)
$$

$$
v(1) = -0.2 \times 17.77 \times \sin(19.864) \approx -3.55 \sin(0.16) \approx -3.55 \times 0.159 = -0.565 \, \text{m/s}
$$

- Gia tốc:

$$
a = -\omega^2 x = -32 \pi^2 \times 0.1974 \approx -32 \times 9.87 \times 0.1974 = -62.5 \, \text{m/s}^2
$$

---

**Kết luận câu a:**

Lúc $t=1s$,

$$
x \approx 19.74 \, \text{cm}, \quad v \approx -0.565 \, \text{m/s}, \quad a \approx -62.5 \, \text{m/s}^2
$$

---

b) Xác định thời điểm đầu tiên vật có pha dao động = $\frac{\pi}{3}$

---

Pha dao động là:

$$
\theta = \omega t + \varphi_0
$$

Cho $\theta = \frac{\pi}{3}$,

$$
\omega t + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Lấy $k=0$:

$$
\omega t = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}
$$

$$
t = -\frac{\pi}{3 \omega} < 0
$$

Không được vì $t \geq 0$.

Lấy $k=1$:

$$
\omega t = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}
$$

$$
t = \frac{5\pi}{3 \omega} = \frac{5\pi}{3 \times 4 \sqrt{2} \pi} = \frac{5}{12 \sqrt{2}} \approx \frac{5}{16.97} \approx 0.295 \, \text{s}
$$

---

**Kết luận câu b:**

Thời điểm đầu tiên vật có pha dao động bằng $\frac{\pi}{3}$ là:

$$
t \approx 0.295 \, \text{s}
$$

---

c) Xác định thời điểm vật có li độ = $10 \sqrt{2} \, \text{cm}$ lần đầu tiên

---

Ta có:

$$
x = A \cos(\omega t + \varphi_0) = 10 \sqrt{2} \, \text{cm} = 0.1 \sqrt{2} \, \text{m} \approx 0.1414 \, \text{m}
$$

$$
0.1414 = 0.2 \cos(\omega t + \frac{2\pi}{3})
$$

$$
\cos(\omega t + \frac{2\pi}{3}) = \frac{0.1414}{0.2} = 0.707
$$

$$
\Rightarrow \omega t + \frac{2\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi
$$

Lấy $k=0$,

Trường hợp 1:

$$
\omega t + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{4}
$$

$$
\omega t = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi - 8\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} < 0
$$

Loại vì $t \geq 0$.

Trường hợp 2:

$$
\omega t + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{4}
$$

$$
\omega t = -\frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi + 8\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} < 0
$$

Loại.

Chọn $k=1$,

Trường hợp 1:

$$
\omega t + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + 8\pi/4 = \frac{9\pi}{4}
$$

$$
\omega t = \frac{9\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{27\pi - 8\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}
$$

$$
t = \frac{19\pi}{12 \omega} = \frac{19\pi}{12 \times 4 \sqrt{2} \pi} = \frac{19}{48 \sqrt{2}} \approx \frac{19}{67.88} \approx 0.28 \, \text{s}
$$

Trường hợp 2:

$$
\omega t + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}
$$

$$
\omega t = \frac{7\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{21\pi - 8\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}
$$

$$
t = \frac{13\pi}{12 \omega} = \frac{13}{48 \sqrt{2}} \approx \frac{13}{67.88} \approx 0.191 \, \text{s}
$$

---

**Chọn thời điểm nhỏ nhất dương:**

$$
t \approx 0.191 \, \text{s}
$$

---

**Kết luận câu c:**

Thời điểm đầu tiên vật có li độ $10 \sqrt{2} \, \text{cm}$ là:

$$
t \approx 0.191 \, \text{s}
$$

---

# **Tóm tắt kết quả:**

- a) Tại $t=1 s$:

$$
x \approx 19.74 \, \text{cm}, \quad v \approx -0.565 \, \text{m/s}, \quad a \approx -62.5 \, \text{m/s}^2
$$

- b) Thời điểm đầu tiên vật có pha dao động $\frac{\pi}{3}$:

$$
t \approx 0.295 \, \text{s}
$$

- c) Thời điểm đầu tiên vật có li độ $10 \sqrt{2} \, \text{cm}$:

$$
t \approx 0.191 \, \text{s}
$$

cho vật dao dộng điều hòa lúc t = 0, vật có pha dao dộng = 2pi/3, li độ = -10cm, gia tốc = 3,2pi^2 m/s^2. a) Xác định trạng thái vật lúc t = 1s b) Xác định thời điểm đầu tiên vật có pha dao động = pi/3...