Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AM,CN cắt nhau tại H Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB, Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BC, 2 đường thẳng cắt nhau tại Q. E là trung điểm AC cm a) 3 điểm H,E,Q thẳ...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh 3 điểm H, E, Q thẳng hàng - Đầu tiên, ta cần nhận xét rằng Q là trực tâm của tam giác ABC. Điều này là do Q là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc với AB và BC, tương ứng với các đường cao của tam giác ABC. - E là trung điểm của AC, do đó E là điểm trên đường trung bình của tam giác ABC. - H là trực tâm của tam giác ABC, do đó H nằm trên đường cao AM và CN. - Theo tính chất của đường trung bình và trực tâm, ta có đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh và trực tâm sẽ đi qua điểm Q. - Do đó, 3 điểm H, E, Q thẳng hàng. b) Chứng minh tam giác ENM cân - Ta có E là trung điểm của AC, do đó EA = EC. - Xét tam giác AMN và tam giác CBN, ta có: - AM = CN (vì AM và CN là đường cao của tam giác ABC). - Góc AMN = góc CBN = 90 độ (vì AM và CN là đường cao). - Do đó, tam giác AMN và tam giác CBN đồng dạng. - Suy ra, AN = BN. - Vì E là trung điểm của AC, nên EN = EM. - Do đó, tam giác ENM cân tại E. c) Chứng minh EK vuông góc với MN và góc KME = 90 độ - Gọi K là trung điểm của BH, do đó BK = KH. - Xét tam giác BHM, ta có: - BM = MN (vì M là chân đường cao từ A xuống BC). - BK = KH (vì K là trung điểm của BH). - Do đó, tam giác BHM cân tại K. - Vì E là trung điểm của AC và K là trung điểm của BH, nên EK là đường trung bình của tam giác BHC. - Đường trung bình EK sẽ vuông góc với MN (vì MN là đường cao). - Do đó, góc KME = 90 độ. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.